Calcul de Dérivé

[invite9f887e25]

Bonjour,

J'essaye de montrer une relation de récurrence entre les Polynôme de Laguerre, mais je bloque à un calcul :


Notation : f(x)^(n) est la dérivé n-ième de f(x).


On pose : Jn(x) = (-1)^n (x^n * e^-x)^(n)

J'ai réussi à montrer que :

(1) : Jn+1(x) = -(n+1)*Jn(x) + (-1)^n (x^n+1 * e^-x)^(n)

et :

(2) : Jn+1(x) = x*Jn(x) - (n+1)*Jn(x) + n*(-1)^n (x^n * e^-x)^(n-1) (En utilisant Leibniz).

Il faudrait maintenant que je montre que :

(3) : Jn+1(x) = x*Jn(x) - (2n+1)*Jn(x) - n² * Jn-1(x)


Je laisse le problème en image pour plus de lisibilité.





Et là je bloque... J'aurai besoin de votre aide s'il vous plaît.

Merci.
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il suffit de suivre les indications de l'énoncé.

Réutiliser (4) au rang fournit:



et on en déduit une expression de que l'on reporte dans (5).

[invite9f887e25]

Ah bah merci ! C'était pas méchant je m'étais lancé dans des calculs fou...

[invite9f887e25]

Je réitère, j'essayais de montrer que les Polynômes de Laguerre s'écrivent :

Ln(x) = (-1)^n e^x (x^n e^-x)^(n)

laguerre.png


J'avais déjà auparavant montrer la relation de récurrence entre les Polynôme de Laguerre :

Ln+1(x) = (x-2n-1)Ln(x) - n²Ln-1(x)

laguerrerec.png


On remarque que :

Jn+1(x) = (x-2n-1)Ln(x) - n²Ln-1(x)


J'aurai envie de dire que e^x * Jn(x) vérifie la relation de récurrence des Polynômes de Laguerre et on aurait :

Ln(x) = e^x * Jn(x).

Pour finir... Mais est-ce correct de faire ceci ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Les deux suites et satisfont la même relation de récurrence.

Il suffit de regarder ce qui se passe pour les premiers termes, puis de prouver par récurrence le résultat général.

[invite9f887e25]

Merci, une autre question :

Préalablement je devais montrer que :

LN0.png

Où (Ln)n€N représente la suite des Polynômes de Laguerre : unitaire et orthogonaux pour le produit scalaire :

ps.png

Mais en faisant une I.P.P. je tombe sur :

Ln(0)^2 + 2 int(0,+oo) Ln'(x)*Ln(x)*e^-x dx

Or : int(0,+oo) Ln'(x)*Ln(x)*e^-x dx est différent de 0...

Je ne vois pas comment faire.