bonjours voici un exercice dont je n arrive pas a trouver la derniere question
voici l intituler
soit deux polynomes a coefficient complexe
F(X) = (X^3)-(1/2)(1+iV(7))(X^2)+ (1/2)(-1+iV(7))X -1
G(X) = (X^3)-(1/2)(1-iV(7))(X^2)+ (1/2)(-1-iV(7))X -1
ou V designe racine carre
1)calculer le produit F(X)G(X)? Donner sous forme trigonometrique les zeros de chacun des polynome F G?
2)former des polynome normalises de degres 3 ayant pour zeros les partie reele des zeros de F et G? Idem avec les partie imaginaire (polynome nomme P et Q
3) former les polynome H et K tel que
K(X)=-64P(X)Q(X)
H(X)=-XK(X)
4) montre que sin7(x)=sin(x)G(sin(x)) ; cos(x)=h(cos(x)) cosh(7x)=H(cosh(x))
mes reponses:
1) On trouve F.G = (X^6)+(X^5)+(X^4)+(X^3)+(X^2)+ X+1
on remarque que
F.G.(X-1) = (X^7)-1
Les racines de F.G.(X-1) = 0 sont les racines 7ièmes de l'unité: X^7=1. En éliminant la racine 1 introduite par la multiplication par (X-1), il reste les six racines :
X_k = cos(2k.pi/7) + i.sin(2k.pi/7) avec k = 1 à 6 qui constituent donc l'ensemble des racines des équations F(X)=0 et G(X)=0
2) on trouve comme polynome
(X-cos(2.pi/7))(X-cos(4.pi/7))(X-cos(6.pi/7)) et
(X-cos(8.pi/7))(X-cos(10.pi/7))(X-cos(12.pi/7)) polynome a coefficient reel
et P(X)= (X-sin(2.pi/7))(X-sin(4.pi/7))(X-sin(6.pi/7))
et Q(X)= (X-sin(8.pi/7))(X-sin(10.pi/7))(X-sin(12.pi/7))
3) on trouve donc K(X)= -64(X-sin(2.pi/7))(X-sin(4.pi/7))(X-sin(6.pi/7))(X-sin(8.pi/7))(X-sin(10.pi/7))(X-sin(12.pi/7))
et H(X)=....
seulement je n arrive pas a faire la question 4 je pense que je dois simplifier l expression de K(X) mais je n y arrive pas
Y a t il une erreur avant?
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