Dynamique de population (matrices) Spécialité, Terminale S

[invitecc05d78f]

Bonsoir à toutes et à tous !
Je bloque sur une question d'un devoir, pouvez-vous m'aider ? Voilà l'énoncé :

On s'intéresse à l'évolution d'une forêt qui n'est composée que de deux espèces d'arbres : A et B.
Lorsqu'un arbre meurt, il peut être remplacé par un arbre de l'une ou l'autre des deux espèces. Dans le modèle envisagé ici, on suppose :
- 1 % des arbres de l'espèce A meurent chaque année (leur espérance de vie est importante)
- 5 % des arbres de l'espèce B meurent chaque année;
- la croissance des arbres de l'espèce B étant rapide, 75% des places laissées vacantes sont prises par les arbres du type B et seulement 25% par ceux du type A.
On sait qu'en 2010, la forêt est constituée de 10 arbres de type A et de 990 arbres de type B



Pour tout entier naturel n, on modélise le nombre d'arbres du type A (resp. de type B) en l'année 2010+n par les termes de la suite An (resp Bn)
a) Justifier que, pour tout nombre entier naturel n :
An+1 = (0.99 + 0.25 * 0.01) An + (0.25*0.05)Bn
b) Exprimer, pour tout nombre entier naturel n, Bn+1 en fonction de An et de Bn
c) Déduire des questions précédentes l'existence d'une matrice carrée M d'ordre 2 telle que (An+1 Bn+1) = (An Bn) * M
d) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifiquer que, pour tout nombre entier naturel n :
(An Bn) = (A0 B0) * M^n

Qu'est-ce qui m'est demandé en question a) ?
Merci d'avance !
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[invitedd63ac7a]

Il manque manifestement une partie de l’énoncé. Que deviennent les places vacantes laissées par les arbres du type A ? D'après la question a) 25% des places doivent être prises par des arbres du type A et je suppose que 75% des places sont prises par des arbres du Type B.
Pour la question que tu poses il faut justifier avec les données de l'énoncé la formule donnée :
L'année suivante le nombre d'arbres du type A, savoir A(n+1) est formée de 99% d'arbres A de l'année n plus etc....

[Médiat]

Bonjour,

Il manque manifestement une partie de l’énoncé. Que deviennent les places vacantes laissées par les arbres du type A ?

Non, il ne manque rien :

la croissance des arbres de l'espèce B étant rapide, 75% des places laissées vacantes sont prises par les arbres du type B et seulement 25% par ceux du type A.

Il sagit de toutes les places laissées vacantes, y compris celles laissées par les arbres de type A.

[invitedd63ac7a]

Vous avez vraisemblablement raison et le calcul le confirme par le résultat de la question a). Je trouve cependant cet énoncé ambiguë car la phrase

la croissance des arbres de l'espèce B étant rapide, 75% des places laissées vacantes sont prises par les arbres du type B et seulement 25% par ceux du type A.

Sous entend que les 75% ne concernent que ceux de l'espèce B, puisque la phrase commence par parler de la croissance plus rapide de l'espèce B.
Il me semble qu'un énoncé pour des élèves doit être parfaitement clair et compréhensible à première lecture, ce qui ne me parait pas le cas de celui-ci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc05d78f]

Je ne sais pas ce qui est entendu exactement par l'instruction "Justifier" pour la question a)
Justifier, c'est pas déduire ou démontrer...
Quelqu'un peut m'aider ?
(J'ai recopié l'énoncé et vérifié après coup, aucun oubli ou erreur de frappe)

[invitecc05d78f]

Pour la question a)
Je dois simplement traduire la formule donnant le nombre d'arbres de type A pour une année n+1
C'est à dire, stipuler qu'il y a pour une année n+1 un nombre d'arbres de type A qui équivaut à :
-99% des arbres de type A d'une année n
-25% des arbres morts de type A de la même année n
- et enfin 25% des arbres de type B morts de l'année n

Je peux vérifier pour une valeur de n la formule donnant An+1 et ainsi la justification est faite ?
(sur un tableur, j'ai calculé les 10 premières valeurs de n, ainsi, je peux vérifier)

[inviteea028771]

Je ne sais pas ce qui est entendu exactement par l'instruction "Justifier" pour la question a)
Justifier, c'est pas déduire ou démontrer...
Quelqu'un peut m'aider ?
(J'ai recopié l'énoncé et vérifié après coup, aucun oubli ou erreur de frappe)

Il n'y a rien a déduire ni a démontrer : il faut traduire l'énoncé en équation.

Si tu préfères, la question c'est "expliquer comment à partir des données de l'énoncé on obtient la relation An+1 = ..."

[invitecc05d78f]

Ok, merci Tryss
Mais comment je peux m'y prendre ? ça me semble pas logique du tout, de calculer ainsi An+1. J'ai pas fait comme ça avec le tableur pour "expérimenter" et j'ai du mal à voir le chemin pour arriver à cette formule.

[Médiat]

Bonjour,

Vous l'avez fait dans votre message #6 !

Nombre d'arbres de type A en l'année (n+1) =

Ce qui reste des arbres A de l'année (n) qui ne sont pas mort
+
Les nouveaux arbres de type A qui poussent à la place des A qui sont morts en l'année (n)
+
Les nouveaux arbres de type A qui poussent à la place des B qui sont morts en l'année (n)

[invitecc05d78f]

D'accord. Mais je dois juste préciser en français ce que vous dîtes ici (c'est qu'une traduction je crois), je ne dois pas justifier qu'on a 1 quart des morts de type A qui deviennent des arbres de type A en l'année n+1 (pareillement pour les 1 quart d'arbres de type B morts qui deviennent des arbres de type B) ?
C'est loin de ce que dit l'énoncé, la formule. Et il faut la justifier...

[invitecc05d78f]

Pour la question d)
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout nombre entier naturel n :
(An Bn) = (A0 B0) * M^n

Pour l'initialisation, j'ai choisi une valeur de n. n=1, j'ai vérifié que ça marchait.
Ensuite pour l'hérédité
Montrons que si (An Bn) = (A0 B0) * M^n alors (An+1 Bn+1) = (A0 B0) * M^n+1
Comme M est une matrice carrée d'ordre 2, alors Mn+1 = Mn * M
Donc (An+1 Bn+1) = (A0 B0) * (M^n * M)

La propriété est donc vraie pour tout n.

C'est bon ce que j'ai fait ?

[invitedd63ac7a]

Dans l'hérédité, tu as oublié de préciser que le passage du rang n : (An Bn) = (A0 B0) * M^n au rang suivant ce fait en multipliant à droite les deux membres de l'égalité par la matrice de transition M.

[invitecc05d78f]

Montrons que si (An Bn) = (A0 B0) * M^n alors ( An Bn )* M = (A0 B0) * (M^n * M) <=> (An+1 Bn+1) = (A0 B0) * (Mn+1)

je dois noter ça comme ça ? C'est vrai que c'est fondamental dans le raisonnement

[invitedd63ac7a]

Oui, mais l'équivalence est de trop; tant que tu n'as pas vérifié que M est inversible tu ne peux écrire qu'une implication. Cela ne change rien à ta démonstration.