Identité d'Euler

[acx01b]

salut, tu rentres dans les séries (somme infinie) et les produits infinis (dont le log s'écrit comme une série).

le théorème le plus important est qu'une série ça dépend de l'ordre des termes donc de l'ordre dans lequel on fait la somme, sauf si la série est absolument convergente, dans ce cas l'ordre des termes n'importe pas.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Conver...t_convergentes

c'est pour ça que pour la fonction zeta de Riemann avec ou en réel c'est une série absolument convergente qui est "facile" à étudier, Euler l'a fait au 18ème siècle, alors que pour ou en réel elle n'est plus absolument convergente et il faut attendre 100 ans pour que Riemann arrive à l'étudier (justement entre autre en élargissant aux complexes ce qu'Euler ne savait pas trop faire)

on a une suite et une autre qui a les mêmes termes que mais dans un autre ordre (on a permuté les termes de )
alors n'est pas forcément égale à

par contre, si existe (la série est absolument convergente ), alors on peut changer l'ordre des termes comme on veut, ça ne changera pas le résultat, et on aura toujours
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[invite6bc0c7b8]

D'accord, merci pour ces explications, mais au niveau calculatoire, je vois encore mal la factorisation.
Je vois plusieurs fois maintenant "R(s)>1" mais qu'est ce que ça signifie ? (s>1 d'acc, mais R(s)...)

[acx01b]

partie réelle du complexe s

Je vais te donner une "démo" même si tu ne mérites pas vraiment car il t'a déjà été donné des tas de liens

est un réel

si donc



On va développer ce produit (infini). Chaque terme sera tu type donc du type ( où )

Donc où les sont des entiers.
Chaque entier peut s'écrire comme un produit de puissances de nombres premiers, donc tout entier apparaît dans la suite .
Un entier a une seule décomposition en produit de puissances de nombres premiers, donc chaque entier apparaît une seule fois dans la suite .

Donc

enfin, est une série absolument convergente, et est également absolument convergente, donc l'égalité démontrée précédemment qui n'était que "formelle" devient une vraie égalité au sens que le produit infini a la même valeur que la série

[acx01b]

j'aurais dû rajouter que :



en gros, j'utilise le fait que si un produit infini a son log absolument convergent, et que ce produit quand on le développe donne une série formelle absolument convergente, alors la série et le produit sont égaux.
ce théorème est en général démontré en même temps que le produit eulérien ce qui complique un peu (étude de la limite, du reste..) alors qu'on peut très bien le montrer à part pour un peu plus de clarté. sachant qu'il est très utile quand on fait des séries de Dirichlet, autant le démontrer d'une manière générale.

[invite6bc0c7b8]

Alors tout d’abord merci pour la démo, je n'en demandé pas tant loin de là, dans mon message #29/#30, je demandais juste qu'on m'explique un passage de la démo (en effet donné dans un lien), pas grand chose de plus, votre démo à l'air aussi très intéressante mais j'aimerais en comprendre totalement une avant de me mettre à une autre.
Cependant, si les éléments de réponse à ma question se trouvaient dans vos posts je m'en excuse.

[invitedd63ac7a]

C'est la démonstration faite à la façon d'Euler et des mathématiciens de l'époque :



le second terme contient tous les inverses des nombres sauf ceux des nombres pairs : puisque ces derniers ont été enlevés.
Lorsque tu fais sur le second terme précédent :



tu enlèves dans le second facteur tous les inverses des multiples de 3, le résultat est alors :



Où il ne reste que les inverses des entiers non multiples de 2 ni de 3

Euler n'a vraisemblablement pas été beaucoup plus loin, car il avait "compris" avec de l'imagination qu'en répétant ce procédé, cette somme se rapprocherait de 1, puisqu'à chaque opération on enlève dans le second membre des inverses. D'où le résultat !
Ce type de raisonnement que l'on appelle inductif, car il permet de trouver un résultat général, était communément accepté jusqu'à la fin du 19e siècle. Aujourd'hui, il est considéré comme insuffisant, on se doit de faire un raisonnement par récurrence : ce que l'on apprend en terminale S.
Je te laisse comprendre l'idée de démonstration d'Euler.

PS: mon affichage TeX est curieux mais je ne vois pas d'où vient l'erreur.

[invite51d17075]

PS: mon affichage TeX est curieux mais je ne vois pas d'où vient l'erreur.

tu as peut être oublié un ou 2 \ ?
cordialement.

[invite6bc0c7b8]

J'ai compris l'essentiel grâce à vous, merci beaucoup