Transformer une suite numérique en fonction

[Syst.]

Bonjour,

J'aimerais transformer une suite numérique en une fonction à une variable (fonction continue ou non).

Est-ce possible à partir de l'expression suivante :
n(t+1) = K.n(t) − n(t−1)
d'obtenir une expression de n fonction de t seulement (ou une équation différentielle) ?

Merci pour votre aide~
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[gg0]

Bonjour.

Ta question a une réponse évidente : La fonction qui vaut n(t) sur l'intervalle [t;t+1[ (discontinue en général).

Mais si ta question est d'exprimer simplement n(t) en fonction de t, tu trouveras des réponses en étudiant les "suites récurrentes". Dans ton cas, cela revient à trouver deux suites géométriques solution de l'équation récurrente n(t+1) = K.n(t) − n(t−1), ce qui est simple si K n'est pas égal à 2 ou -2.

On voit ça en enseignement supérieur.

Cordialement.

[Syst.]

Bonsoir,

C'est la résolution de la suite récurrente qui m'intéressait.
Merci d'avoir mis les bons mots à mon problème. Ça m'a permis de trouver la méthode de résolution.

La voici si ça intéresse quelqu'un :

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Suite récurrente linéaire d'ordre 2 :
(E) : n(t+1) = K.n(t) − n(t−1)
<=> n(t+2) + (−K).n(t+1) + n(t) = 0

Polynôme caractéristique de la suite (E) :
X² − K.X + 1 = 0

Δ = (−K)² − 4*1*1 = K² − 4

r1 = (K − sqrt(K²−4))/2
r2 = (K + sqrt(K²−4))/2

La solution de (E) est
n(t) = λ.(r1)^t + μ.(r2)^t

avec
λ + μ = n(0)
et λ.r1 + μ.r2 = n(1)

soit
λ = ( n(1) − n(0).r2 ) / ( r1 − r2 )
et μ = ( n(1) − n(0).r1 ) / ( r2 − r1 )



Exemple avec
n(0) = 1
n(1) = 3
et K = 3

on a :

r1 = (3 − sqrt(5))/2 ≃ 0,382
r2 = (3 + sqrt(5))/2 ≃ 2,618

λ = ( 3 − r2 ) / ( r1 − r2 ) ≃ -0,17
et μ = ( 3 − r1 ) / ( r2 − r1 ) ≃ 1,17

n(t) = λ.(r1)^t + μ.(r2)^t ≃ 1,17×2,618^t − 0,17×0,382^t

Les calculs numériques donnent les bons résultats

Mais il se trouve que pour le problème concret que je voulais résoudre (croissance d'une population) ce n'est pas une suite d'ordre 2 que j'ai en réalité mais une suite d'ordre… infini, de la forme
n(t+1) = K.n(t) − n(t−1) + n(t−2) − n(t−3) + n(t−4) − … n(t−t)

Je vais laisser tomber.

Merci à gg0 en tout cas.

[Syst.]

Je remarque que ma suite que je pensais être d'ordre infini peut être simplifiée, du moins pour un K entier positif différent de 0.
Elle s'écrit n(t+1) = K.n(t) − (K−1).n(t−2)
ce qui est une suite d'ordre 2, trop difficile à résoudre pour moi de toute façon

[A voir en vidéo sur Futura]

[Syst.]

Non en fait c'est seulement pour des cas particuliers

[Médiat]

Mais il se trouve que pour le problème concret que je voulais résoudre (croissance d'une population) ce n'est pas une suite d'ordre 2 que j'ai en réalité mais une suite d'ordre… infini, de la forme
n(t+1) = K.n(t) − n(t−1) + n(t−2) − n(t−3) + n(t−4) − … n(t−t)

Je vais laisser tomber.

Bonjour,

Le calcul de t(n+1) + t(n) permet de simplifier beaucoup, non ?

[Syst.]

Je ne comprend pas ce que vous voulez dire par là


(Je voulais dire "suite d'ordre 3" dans le message #4…)

[Médiat]

Il faut dire que j'ai mélangé vos notations, je voulais dire : calculez n(t+1) + n(t), cela vous donne bien une relation valide hors de tous cas particuliers.

[Syst.]

Effectivement, et c'est tout à fait soluble ! Merci beaucoup !