Vraies ou fausses ces propositions?

[moundir56]

Bonjour

voilà j'ai essayé de résoudre 3 exercices en logique. Il s'agit de :

1/ , cette proposition est vraie.

Ma lecture de cette implication : pour tous les réels x solution de l'équation implique ...
Autrement dit bien qu'on ait le , l'hypothèse suppose également que la condition
soit remplie.


2/Cette proposition est-elle vraie? :
, cette proposition est fausse

j'ai procédé par contre exemple, pour y=1, je trouve , impossible
donc pour y=1 il n'existe par de x qui vérifie la proposition.

3/Montrer par l'aburde que l'implication suivante est vraie.
Soit x un réel :


on suppose x# 0 et on pose d'où la contradiction avec l'hypothèse de départ

Donc le seul réel qui peut verifier cette implication est x = 0

Est ce que vous pouvez me dire s'il y a une difference entre cette formulation et celle-ci:



merci pour votre patience
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[moundir56]

oups erreur corrigée!:

d'où la contradiction avec l'hypothèse de départ

[joel_5632]

bonjour

Pour le 1, moi je vois les choses différemment.

Je vois autant d'implications qu'il y a de x réel.



si le premier membre est faux, par exemple pour x=0, alors l'implication est vraie

si le premier membre est vrai, pour x=1, alors l'implication est encore vraie car le deuxième membre est vrai


Maintenant si on intègre le qqsoit avec le premier membre



le premier membre est manifestement faux donc l'implication est vraie


Mais attendons d'autres avis



[/QUOTE]

[gg0]

Bonjour.

1) Ton explication n'est pas correcte. C'est bien pour tout x que l'implication est vraie. Soit parce que x est égal à 1 et que l'hypothèse et la conclusion sont vraies, soit parce que x n'est pas égal à 1, donc que l'implication est vraie puisque l'hypothèse est fausse (revoir la définition d'une implication, ou sa table de vérité)
2) Ok
3) En fait, tu as fait une preuve par contraposition (souvent appelée par habitude preuve par l'absurde) : Pour démontrer A=>B, tu as prouvé nonB=>nonA.
Pour les deux formulations, comme ton x était quelconque, je ne vois pas de différence : L'implication est vraie soit parce que x est bien nul, soit parce que l'hypothèse est fausse.
Mais des spécialistes de logique me démentiront peut être ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

oups erreur corrigée!:

Ben non, si tu poses comme tu l'as fait, le sens de l'inégalité était le bon dans ta 1ère écriture, ...

Par contre ta justification de contradiction était incorrecte, tout simplement parce que la contradiction que tu évoquais en n'était pas une ! ... Par contre il y a bien une contradiction, mais pas celle là, ... une autre !


Cordialement

[gg0]

Je viens de voir le message de Joël : pour ton implication finale, j'avais considéré le quel que soit comme portant sur l'implication. S'il fait partie de l'hypothèse de l'implication, alors l'implication est mal formée : le x de la conclusion n'a aucune raison d'avoir une signification, ce n'est pas la lettre de l'hypothèse, même si c'est la même lettre.
Mais généralement, ce n'est pas ainsi qu'on lit une phrase avec un quantificateur.

[gg0]

En fait, en relisant, je me rends compte que j'ai interprété :

les parenthèses sont bizarres, et on ne sait pas ce qui est dans l'implication. S'agit-il de

ou de
?
dans le premier cas, c'est vrai, dans le deuxième, c'est faux.
Mais la formulation initiale, avec des parenthèses accolées ne permet pas de savoir de quoi il s'agit. La première parenthèse n'a d'ailleurs pas de sens : un quantificateur sans proposition ?

Cordialement.

NB : On fait ça en collège-lycée ?

[Médiat]

Mais généralement, ce n'est pas ainsi qu'on lit une phrase avec un quantificateur.

D'où l'importance des parenthèses qui sont clairement fautives dans le message # 1

[joel_5632]

@gg0 #6 oui, effectivement, le x=1 en conclusion n'aurait pas de sens

[PlaneteF]

En fait on a là toute l'histoire classique du mélange malencontreux entre variable libre et variable liée, de l'action de mutificateur des quantificateurs, et du fait que selon les règles de priorités en vigueur les quantificateurs sont prioritaires sur l'implication.

Cordialement

[Médiat]

A noter qu'une formule comme :

est correcte, mais bien maladroite puisque le même symbole est lié dans une partie de la formule et libre dans l'autre, si on l'écrit :

il n'y a plus de problème (ni d'hésitation sur sa validité)

Personnellement je répugnerais à écrire

[PlaneteF]

il n'y a plus de problème (ni d'hésitation sur sa validité)

Salut Médiat,

Petite remarque complémentaire : D'ailleurs compte tenu des règles de priorités "relations > quantificateurs > implication", on peut même ne pas mettre de parenthèses du tout.

Cordialement

[Médiat]

Petite remarque : D'ailleurs, compte tenu des règles de priorités "relations > quantificateurs > implication", on peut même ne pas mettre de parenthèse du tout.

J'y répugne aussi ; ne serait-ce que pour des raisons de lisibilité, j'ai tendance à sur-parenthéser (que ce soit dans l'écriture de formules au sens logique ou arithmétique du mot)

[PlaneteF]

J'y répugne aussi ; ne serait-ce que pour des raisons de lisibilité, j'ai tendance à sur-parenthéser (que ce soit dans l'écriture de formules au sens logique ou arithmétique du mot)

Pour la lisibilité cela dépend vraiment des habitudes de chacun, mais dans la mesure où ces règles de priorité ne sont peut-être pas forcément connues de tous ^(*), il est certainement préférable de "sur-parenthéser", et ma remarque était plus pour donner une illustration de l'application de ces règles.

^(*) D'ailleurs très peu de textes mentionnent ces règles de priorités.


Cdt

[moundir56]

merci beaucoup pour vos commentaires,

pour la question 1

je l'ai interprété selon le principe que l'on s’intéresse dans le cas d'une implication que pour le cas où l'hypothèse de départ est vraie.

je m'explique:

soit l'implication : , pour étudier cette implication on suppose p vraie et on démontre que q l'est aussi pour conclure que l'implication l'est aussi.

D'où mon interprétation pour cette question.

Question 2/

en posant donc or on sait que c'est à dire d'où la contradiction
est ce correct cette fois ?

pour la formulation différente de cette proposition, j'ai pas bien compris l'explication donnée.

cordialement

[PlaneteF]

Question 2/

en posant donc or on sait que c'est à dire d'où la contradiction
est ce correct cette fois ?

Je trouve que ta justification est mal formulée et pas très claire, ... car après tout, d'une manière générale, il n'y a pas de contradiction entre et , donc tu es obligé d'aller plus loin dans ta justification.

Mais on peut aussi simplement écrire ceci :

Choisissons . Il vient alors . Et là, le point clé de la justification, c'est de bien préciser que puisque par l'absurde on a supposé c'est-à-dire , on peut simplifier par dans l'inégalité (sinon on a pas le droit de faire cette simplification).

Ce qui donne ... et là, tu en conviendras, il y a clairement et sans équivoque, une absurdité !


Cdt

[moundir56]

D'accord, mais si je ne me trompe pas, à travers une démonstration par l'absurde, on aboutit généralement

à une contradiction envers une des hypothèses du problème soumis.

Et pour le 1er exercice, pas d'observation? Je suis assez indecis avec toutes les reponses données

Cordialement

[PlaneteF]

D'accord, mais si je ne me trompe pas, à travers une démonstration par l'absurde, on aboutit généralement

à une contradiction envers une des hypothèses du problème soumis.

Formellement et techniquement, la règle de démonstration dite absurdité classique, notée , est définie de la manière suivante : Soit un ensemble d'hypothèses et une proposition. On a :



Ce qui se traduit de la façon suivante :

Ce que l'on veut démontrer : La ligne sous la barre de la règle, à savoir on veut démontrer la proposition à partir des hypothèses de .

Pour ce faire : La ligne au dessus de la barre, à savoir on prend les hypothèses de auxquelles on rajoute la négation de (c'est-à-dire on suppose fausse) et l'on montre que cela conduit à une absurdité (notée ).

N.B. : A la droite de la règle, on met le symbole de la règle, donc ici


Cordialement

[PlaneteF]

... Et donc pour en revenir à l'exemple du message#16, on a dans ce cas :

Cdt

[moundir56]

Difficile pour moi à te suivre

Merci quand même

cdt

[PlaneteF]

Ben si tu veux, d'une manière plus prosaïque, pour faire une démonstration par l'absurde tu supposes que ce que tu veux démontrer est faux et cela s'ajoute à tes hypothèses, ... puis à partir de ces hypothèses ainsi enrichies, tu fais une démonstration qui conduit à quelque chose de faux. C'est exactement ce qui est décrit dans le message#18.

Cdt

[moundir56]

Bonjour.

1) Ton explication n'est pas correcte. C'est bien pour tout x que l'implication est vraie. Soit parce que x est égal à 1 et que l'hypothèse et la conclusion sont vraies, soit parce que x n'est pas égal à 1, donc que l'implication est vraie puisque l'hypothèse est fausse (revoir la définition d'une implication, ou sa table de vérité)

bonjour,

désolé de revenir sur cette question, mais j'ai pas compris votre explication.

à ma connaissance dans une implication quelconque (p implique q) on s'interroge par sur la véracité de p. On suppose p vraie (dans mon exemple c'est l’équation ) et on essaie de démontrer que q est vraie et conclure que la l'implication donnée est vraie

cordialement

[gg0]

Effectivement,

pour prouver une implication, on suppose l'hypothèse vraie et on prouve que la conclusion est vraie.
je réagissais à ton explication complémentaire inutile sur le fait que l'implication suppose que la partie hypothèse est vraie. Ton explication était fausse. Tu confondais la preuve de l'implication et le contenu de l'implication.

L'implication 2=3 ==> 5=6 est vraie. Pourtant 2=3 est faux
A petit niveau, on a rarement besoin de ce cas d'implication vraie (j'ai simplement repris a=b ==> a+3=b+3 avec a=2 et b=3), mais il y a des cas où c'est utile pour éviter des cas particuliers pénibles.

Cordialement.