Plan tangent à un cercle

[kaderben]

Bonjour

On donne un cercle²+y²+z²-4x+6y-2z+5=0
un plan P:2x-y+2z-18=0

Montrer que P est tangent au cercle puis calculer les coordonnées du point de contact.

Réponse:
En appliquant la formule de la distance de I à P, je trouve 3 donc P est bien tangent au cercle.
Soit M(x;y;z) le point de contact
x²+y²+z²-4x+6y-2z+5=0 équivaut à (x-2)²+(y+3)²+(z-1)²=9=3²
cercle de centre I(2;-3;1) et de rayon 3

A(0;0;9) sur P
AM(x;y;z-9) IM(x-2;y+3;z-1) en vecteurs
AM.IM=0 donc x²+y²+z²-2x+3y-10z+9=0

Système à résoudre:
x²+y²+z²-4x+6y-2z+5=0
x²+y²+z²-2x+3y-10z+9=0
2x-y+2z-18=0

équivaut à
x²+y²+z²-4x+6y-2z+5=0
-2x+3y+8z-4=0
2x-y+2z-18=0

En procédant par substitution je trouve le point de contact M(4;-4;3)

Mais c'est très long et beaucoup de risques de se tromper!

Y'a t il une autre méthode moins laborieuse que celle là ?

Merci pour vos commentaires
-----

[invite2c0a89ca]

Bonjour,

Si tu arrives à trouver un point du cercle appartenant à P ben Soit O le centre du cercle et M le point appartenant au cercle et à P alors le vecteur OM est colinéaire au vecteur normal de P. Sinon tu prends un point A de P et tu montre que OM.AM = 0 ou OM vectoriel AM = 1

[invite5805c432]

je te signale que le plan P est orthogonal au vecteur (2, -1, 2).
on peut aussi dire que P est orthogonal au vecteur unitaire (2, -1, 2)/3 = (2/3, -1/3, 2/3)
et ton cerlce est de centre I(2;-3;1) et de rayon 3, selon tes calculs.

un point M est intersection de P et du cercle ssi MI orthogonal au P, donc MI// (2/3, -1/3, 2/3). De plus tu sais que ||MI|| =3.

du coup, l'un de ces 2 points est l'intersection du cercle et du plan:
I+3*(2/3, -1/3, 2/3) ou I- 3* (2/3, -1/3, 2/3)
c'est un abus de notation ou point+vecteur = point

ce qui donne (4, -4, 3) ou (0, -2 , -1).

Le second n'appartient pas à P. je vérifie que (4, -4, 3) appartient à P, et c'est bien le point d'intersection.

[invite5805c432]

j ai même l'impression que je n'ai pas besoin de calculer la distance de I au plan.
Le cercle est tangent au plan si et seulement si, un des 2 points déterminés de cette manière (IM orthogonal au plan, et ||IM||=rayon du cercle) appartient à ce plan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

bonjour

Pourquoi parlez vous tous d'un cercle ?
L'ensemble des points M(x,y,z) dont les coordonnées vérifient (x-2)²+(y+3)²+(z-1)²=9 est une sphère, pas un cercle ...

[invite5805c432]

je ne trouvais plus le mot, alors je l'ai appelé comme op.

[kaderben]

Bonjour
tidawa écrit

Si tu arrives à trouver un point du cercle appartenant à P

Dans ce cas il n'y a aucun calcul à faire! Justement c'est ce point dont on veut calculer ses coordonnées.

joel a raison, c'est bien une sphère! j'ai écrit "cercle" car sur le papier c'set un cercle!

La méthode de untruc est intéressante mais il me faudra un peu de temps pour la comprendre.

[invite5805c432]

tu peux regarder ce qui se passe en dimension 2, avec une droite ax+by+c=0 (donc orthogonale au vecteur (a, b)), et un cercle.

Tu as en gros 3 situations:
- intersection vide
- intersection egale a 1 point-> cercle tangent à la droite
- intersection est multiple.

si tu connais les rayons de ces cercles,tu connais la norme de tous les vecteurs u, v, w... De plus tout ces vecteurs sont // à (a,b).
donc ces vecteurs valent + ou - * rayon du cercle * (a,b)/||(a,b)||


la situation en 3d est similaire.

[kaderben]

Merci pour le graphique c'est sympa! J'ai compris.

Si j'ai bien compris, ton écriture:

I+3*(2/3, -1/3, 2/3)

veut dire: IM=3*n, n vecteur unitaire (2/3, -1/3, 2/3) et M le point de tangence ?

[invite5805c432]

si tu veux, I+ vecteur, c'est à comprendre vecteur OI+ vecteur.

aussi note que je ne savais pas lequel des extrémité est la tangente. En effet si n est vecteur unitaire normale à P, -n est aussi un vecteur normal. Sur le dessin 2d, tu peut imagine un 4 ieme cercle situé en dessous de la courbe et tangent à la droite.

Ici le I+3n donne le point tangent, dans d'autres cas, c'est peut être I'-3n ( il suffit que tu prennes la sphère symétrique par rapport au plan P)