Recurrence un peu compliqué

[audraaey]

Bonjour je suis en TS et j'ai un exercice assez compliqué qui me bloque. Le bac étant à la fin de l'année j'aimerais réussir à faire tous les exercices sur la récurrence pour acquérir cette notion.

Voici l'exo :

On définit la factorielle d'un entier naturel n non nul par :
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1

par convention 0!=1

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel non nul par :
Un = (je ne trouve pas le symbole somme) [en bas k=0 et au dessus n] 1/k! = 1 + 1/1! + 1/2! + ...+ 1/n!

Démontrer que pour tout entier k> 1(ou égal) , k!> 2<sup>k-1 <sub>( ou égal)

Voilà donc c'est assez compliqué, les ! me bloquent pas mal!
Et j'ai trouvé en initialisation que pour k=1 k! faisait 2 et</sub></sup> 2^{k-1 _{faisait 2 aussi donc ça marche mais pour l'hérédité je sais pas quoi faire... je sais que}} k!> 2^k-1
Donc si je rajoute 1 au deux ça fait k+1! > 2^{k
Mais ça marche pas.. :/}

Merci à ceux qui m'aideront!!

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[Noct]

j'ai trouvé en initialisation que pour k=1 k! faisait 2 et 2k-1 faisait 2 aussi

.
Ceci est faux , 1! ne vaut pas 2 et 2^0 ne vaut pas 2.
On montre l'hérédité assez facilement pour .
Je rappelle que

[PlaneteF]

Bonjour,

Donc si je rajoute 1 au deux ça fait k+1! > 2^k

Non, il manque des parenthèses.

Cordialement

[audraaey]

Ah oui, j'ai confondu avec Un, Donc 1! = 1 et 2 ⁰ fait 1 aussi,
Mais pour l'hérédité je peut faire k=2?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Noct]

Pourquoi "faire k=2" ? . Cela ne prouvera pas grand chose.
Le principe de l'hérédité est de prendre un entier k quelconque et de montrer que si la propriété est vraie au rang k , alors elle est vraie au rang k+1. Je te préconisais juste de travailler pour afin de montrer facilement l'hérédité, mai cela implique de traiter également le cas k=2 dans l'initialisation

[PlaneteF]

Je te préconisais juste de travailler pour afin de montrer facilement l'hérédité, mai cela implique de traiter également le cas k=2 dans l'initialisation

Salut Noct, ... Ben on peut faire directement la démonstration pour , pourquoi passer un cran au dessus ?!

Cordialement

[Noct]

Oui, on peut , mais il m'avait semblé qu'en faisant la démonstration avec , il aurait de toute façon fallu traiter le cas à part . Donc au final, ça revient au même. C'est une question de point de vue je pense.

[PlaneteF]

(...) il aurait de toute façon fallu traiter le cas à part (...)

Non il n'y a pas à traiter un cas particulier pour

Cdt

[untruc]

tu veux démontrer que k!>= 2^(k-1) ?
genre tu veux démontrer que les produit de k elemets:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x k
est > ou egal au produit de 1 avec k-1 fois 2 de ceci
1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ..... x 2


Je présume que la récurrence n'est pas nécessaire, et qu elle apparaîtra nécessaire plus tard dans le problème. Mais si tu veux, tu peux le faire.

[PlaneteF]

tu veux démontrer que k!>= 2^(k-1) ?
genre tu veux démontrer que les produit de k elemets:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x k
est > ou egal au produit de 1 avec k-1 fois 2 de ceci
1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ..... x 2

Je présume que la récurrence n'est pas nécessaire, et qu elle apparaîtra nécessaire plus tard dans le problème. Mais si tu veux, tu peux le faire.

Bonjour,

Juste une petite remarque :

"Trois petits points" n'est pas un symbole mathématique, ... donc si l'on veut valider formellement cette façon de procéder, on va passer par une récurrence.

Ceci dit, on fait très souvent ce racourci d'écriture et de raisonnement.


Cordialement

[untruc]

bein non, dans la première j'ai 1 fois k-1 termes. Ces k-1 termes sont chacun plus grand que 2, donc le produit est plus grand que 2^(k-1).

mais si il veux s'entrainer à faire des récurrence, il peut.

[PlaneteF]

bein non, dans la première j'ai 1 fois k-1 termes. Ces k-1 termes sont chacun plus grand que 2, donc le produit est plus grand que 2^(k-1).

Cela n'empêche nullement ma remarque précédente !

[PlaneteF]

bein non, dans la première j'ai 1 fois k-1 termes. Ces k-1 termes sont chacun plus grand que 2, donc le produit est plus grand que 2^(k-1).

mais si il veux s'entrainer à faire des récurrence, il peut.

Je n'ai pas eu le temps de développer mon message#10 et #12 à ce sujet.

En fait en écrivant cela il y a implicitement une récurrence de faite. En effet pour justifier cela on utilise la propriété suivante :

Soit une famille de réels dont tous les éléments sont minorés par . Alors

Or pour démontrer cette propriété on le fait par récurrence, ... c'était là le sens de ma remarque. De toute manière lorsque l'on met "trois petits points" c'est qu'il y a une récurrence implicite dans les parages

Maintenant comme je le précisais, la plupart du temps on n'explicite pas cette récurrence car le résultat est archi connu, d'ailleurs personnellement mon premier réflexe en voyant cet exo a été de procéder comme tu l'as fait ... Mais je pense qu'il est intéressant de rappeler ce qu'il y a formellement derrière cette notation "trois petits points", à savoir une récurrence.


Cdt

[audraaey]

Par récurrence ça me parait vraiment compliqué quand même mais si au bac je tombe sur un exercice de ce type d'après vous la récurrence ne serait pas la meilleure manière de le résoudre?
Au passage je vous remercie pour toute vos réponses!

[PlaneteF]

Par récurrence ça me parait vraiment compliqué quand même (...) \,

Compliqué ?? ... Cette récurrence est tout ce qu'il y a de plus simple, elle se fait en 2 lignes et 10 secondes !


Cdt

[audraaey]

Bah oui enfin pour moi car à la fin il faut que j'ai quelques choses comme " (k+1)!>= 2k⁰
Si je rajoute "1!" au lieu de 1 ça me donnerais :
(k+1)! > 2k-1^{+ 1}
Mais comment passer de 2k-1 ^{+ 1} à 2k⁰ ?

[audraaey]

Ah si c'est bon j'ai réussi! Merci de ton aide!!
Ensuite il faut démontrer que Un <= 1 + 1 + 1/2+ 1/2² +...+1/2^n-1
Ca j'ai réussi mais la 3 eme question c'est : en déduire que un est majorée par 3
Je sais pas trop quoi faire ( montrer qu'elle est croissante mais après?)

[Noct]

Ta somme est plus ou moins une somme de termes d'une suite géométrique que tu devrais pouvoir calculer grâce à une formule du cours.

[audraaey]

Ah oui voilà!
Merciii beaucoup!!

La question qui suis c'est : démontrer que pour tout entier naturel n non nul:
Un <= 1+1+1/2+1/2²...1/2n-1

Vu que k!>= 2k-1 alors 1/k! = 1+ 1 + 1/2 +1/2² .. + 1/2k-1

Donc ça c'est bon mais après il faut démontrer que Un est majorée par 3 et la je bloque!!

[PlaneteF]

Vu que k!>= 2k-1 alors 1/k! = 1+ 1 + 1/2 +1/2² .. + 1/2k-1

Donc ça c'est bon mais après il faut démontrer que Un est majorée par 3 et la je bloque!!

Noct t'a donné un indice dans son message#18​.


Cdt