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Récurrence double et récurrence simple



  1. #1
    ouuf

    Récurrence double et récurrence simple

    Bonjour à tous !

    Pour la rentrée je dois faire deux récurrence, une double et une simple.

    Je bloque sur les deux

    Récurrence double :
    Soit x un réel tel que x+(1/x) est un entier relatif
    1. Démontrer que pour tout entier n et réel x non nul on a :
    (x+1/x)(x^n+1/x^n)=(x^(n+1)+1/(x^(n+1)))+(x^(n-1)+1/(x^n-1))) Cette question je l'ai déjà faite

    2. En déduire à l'aide d'une récurrence double que pour tout n entier naturel x^n+1/x^n est un entier relatif
    3.Déterminer un réel x non entier vérifiant x+1/x est un entier relatif.

    C'est sur la question 2 que je bloque car on a en pas tellement fait de récurrence double.

    Récurrence simple :
    1. Montrer que pour tout entier n>2 on a n\geq 2 on a 2-\frac{1}{n}\geq \sum{\frac{1}{k^{2}}}\geq \frac{3n}{2n+1}
    2. En déduire que (u_{n}) définie par u_{n}=\sum{\frac{1}{k^2}} est convergente
    3. Peut-on donner un encadrement de sa limite à 0.1 près avec l'encadrement du 1. ?

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Bonjour.

    J'imagine que ce que tu appelles une récurrence double est : [P(0) est vrai, P(1) est vrai et (P(n-1) et P(n)=>P(n+1))] => pour tout entier n, P(n) est vrai.

    Pour le premier exercice, il te suffit de lancer la preuve et le 1 te donne la solution.

    Je ne comprends pas ce que tu as écrit dans le deuxième exercice (si tu ,mets du LaTeX, il doit être dans des balises TEX (clique sur l'icone en mode avancé).

    Cordialement.

  4. #3
    ouuf

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Pardon

    1.Montrer que pour tout entier on a
    2. En déduire que définie par est convergente
    3. Peut-on donner un encadrement de sa limite à 0.1 près avec l'encadrement du 1. ?

  5. #4
    ouuf

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    c'est bon ! J'ai réussi la double récurrence. Et je trouve 0.999999999 à la 3.

  6. #5
    ouuf

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Mais je n'arrive pas à faire la récurrence simple

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Ok !

    Je n'ai pas trop compris ton "0.999999999 à la 3". si x=0.999999999, x+1/x n'est pas un entier, ça fait :


    Pour le deuxième exercice, la première question se fait par récurrence. Si tu l'as déjà commencé, dis mous ce que tu as fait et où tu bloques. Sinon, au travail !

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  10. #7
    ouuf

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Pour la 3., lorsque x=0.999999999, x+1/x=2. Essayes.

    Sinon pour l'autre récurrence j'ai traité les deux cas séparément : lorsque la somme est inférieure à 2-1/n et supérieure à 3n/(2n+1)
    Dernière modification par ouuf ; 10/11/2012 à 14h18.

  11. #8
    gg0

    Re : Récurrence double et récurrence simple

    Non !

    Ta calculatrice écrit 2 parce qu'elle arrondit, mais fais le calcul exact (ta calculette ne le fait pas). je t'ai donné le résultat exact, il ne fait pas 2.

    Rappel à la calculette 10^30+1-10^30 donne 0 alors qu'il est évident que ça fait 1. Une calculette, comme un éléphant, ça trompe énomément.

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