Bonjour à tous !
Pour la rentrée je dois faire deux récurrence, une double et une simple.
Je bloque sur les deux
Récurrence double :
Soit x un réel tel que x+(1/x) est un entier relatif
1. Démontrer que pour tout entier n et réel x non nul on a :
(x+1/x)(x^n+1/x^n)=(x^(n+1)+1/(x^(n+1)))+(x^(n-1)+1/(x^n-1))) Cette question je l'ai déjà faite
2. En déduire à l'aide d'une récurrence double que pour tout n entier naturel x^n+1/x^n est un entier relatif
3.Déterminer un réel x non entier vérifiant x+1/x est un entier relatif.
C'est sur la question 2 que je bloque car on a en pas tellement fait de récurrence double.
Récurrence simple :
1. Montrer que pour tout entier n>2 on a n\geq 2 on a 2-\frac{1}{n}\geq \sum{\frac{1}{k^{2}}}\geq \frac{3n}{2n+1}
2. En déduire que (u_{n}) définie par u_{n}=\sum{\frac{1}{k^2}} est convergente
3. Peut-on donner un encadrement de sa limite à 0.1 près avec l'encadrement du 1. ?
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on a