récurrence double

[invite18c42f07]

bonjour bonjour !

alors en fait on a un dm (pas très facile) avec une suite définie par induction :

U0 dans IR+* (U0>0)
U1 dans IR+* (U1>0)
pour tout n de IN,


A partir de là, la question est la suivante : si on admet que Un converge vers L, montrer que L est dans {0,4}

d'habitude les récurrences j'aime plutôt bien ('fin les faciles quoi ^^) mais là je galère un peu donc je suis preneur de toutes aides, pistes etc...

merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Dans ce genre de questions, il faut garder à l'esprit que si converge vers L, alors toute suite extraite converge également vers L

[invite18c42f07]

hum...ha okay je vois mais quelle astuce pour trouver une suite extraite qui nous aide dans ce genre d'exercice ?

[Seirios]

C'est plutôt un résultat qu'il faut appliquer à la relation de récurrence, en faisant tendre n vers l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18c42f07]

je comprend pas bien...

Enfin appliquer le résultat ce serait dire que Un converge implique que toute suite extraite a la même limite que celle ci, mais j'avoue que je cale :s

(j'ai appris mon cours pourtant...)

[Seirios]

Je te donne un exemple sur un autre problème : si tu définis une suite par la relation , avec f continue. En supposant que converge vers , tu obtiens en faisant tendre n vers l'infini dans la relation de récurrence, que , c'est-à-dire que la suite tend nécessairement vers un point fixe de f.

Cela ne te donne pas une idée pour résoudre ton problème ?

[invite18c42f07]

ha alors en fait

Un converge vers L

L = lim U(n+1) = lim f(Un) = f(L)
c'est ça ?

je pose
Un+2 = f(Un+1,Un)
Un+2 tend vers L, ça revient à résoudre L=f(L,L) enfin je sais pas trop comment expliquer, mais est ce que L=2sqrt(L) est un bon départ ? :s

[invite18c42f07]

Partant de là,

L²=4sqrt(L)²
L²-4L=0 je trouve bien {0,4} comme solutions...

après c'est à tout les coups un problème de rédaction...

[Seirios]

C'est bien ça, mais il n'y a pas de problème de rédaction : puisque converge vers L, et également (en tant que suites extraites), et puisque la racine carrée est continue sur (il est évident que est une suite positive, donc nécessairement L est positif), on obtient en faisant tendre n vers l'infini dans la relation de récurrence : , que l'on résout pour trouver le résultat.

EDIT : Cela dit, cette rédaction est presque trop détaillée ; en pratique, souvent on ne mentionne que le résultat de la limite.

[invite18c42f07]

super !! merci beaucoup

le problème finalement venait de pas grand chose :

je n'avais pas remarquer que Un+1 était une suite extraite de Un (pourtant c'est évident)

encore merci ! j'espère pouvoir faire le reste du dm désormais

bonne soirée !