Loi normale

[invite268a2dad]

Bonjour,

La plupart des calculatrices possède un générateur de nombres dit "pseudo.aléatoires" càd des nbs aléatoires distribuésde manière uniforme sur [0,1].
on suppose qu'on a beaucoup de temps et qu'on sollicite 40 fois ce générateur. On note Z la somme des 40 nbs renvoyés par la calculatrice.

1) Donnez l'espérance et la variance de Z
2) Que peut-on dire de la loi Z?
3) Calculez la probabilité P(16<Z<21)
4)Quelle est la valeur que Z ne dépasse que dans 7% des cas?
5) Quel est le quantile 23% de Z?

1) E(Z)=(1/2)*40=20=µ mais je ne suis pas très sûr que ça soit ça et pour avoir la variance je ne vois pas trop
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[invite5805c432]

c'est juste, mais révise ton cours. notamment:
l’espérance de la somme de N variables aléatoires = somme des espérances

la variance de la somme de N variable aléatoires INDÉPENDANTES = ?

[invite268a2dad]

C'est la somme des variances

[invite5805c432]

bien, et c'st quoi la variance d'une loi uniforme entre [0, 1]?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite268a2dad]

C'est (b-a)²/12=1/12

[invite268a2dad]

Donc c'est V(Z)=40/12=10/3?

[invite5805c432]

oui, juste donc revise comment on a trouvé cette formule (b-a)^2/12

[invite268a2dad]

D'accord

Mais je ne vois pas trop ce qu'on peut dire de la loi. (j'ai toujours du mal à interpréter les résultats en proba)

[invite5805c432]

c'est justement l'intéret de ce type de calcul.

par exemple, allons dans le cas discret avec une loi de Bernoulli P(x=0)=p et P(x=1)=1-p.
Tu as considéré la variable aléatoire S_N= X_1 + ... +X_N somme de N variable aléatoire de Bernoulli.
Tu t'es cassé la tète pour déterminer la loi de cette variable avec des considération de dénombrement, et tu l'as appelée loi multinomiale.
Ensuite tu as regardé son espérance, et sa variation à partir de ces formules...

Néanmois, si tu es arrivé de cette manière, c'est pas aussi simple pour des variables aléatoires ayant d'autres lois , et variables aléatoires.
Mais d'un autre coté , tu pourrais te contenter de la connaissance de certaines propriétés. Notamment, l'espérance, et la variance.
La variance mesure la déviation de cette variable aléatoire par rapport à l’espérance. Tu t'en fiches de la loi des détails compliqués de la loi de la somme, tu veux juste une idée de son comportement.

[invite268a2dad]

J'ai pas compris

[invite5805c432]

J'avais compris ta question: c'es quoi la loi de S_N

on te donne N variables aléatoires uniformes sur [0,1] indépendantes
on te définis S_N= X_1 + X_2 + .... + X_N
on aimerai bien connaitre, l'espérence de ce truc, et sa "déviation" par rapport à la moyenne c'est a dire la variance
Je te rappelle la variance = La moyenne de [{S_N- moyenne de (S_N)}^2].

toi tu décides, que tu veux calculer d'abord la loi de S_N. en clair, comme S_N prend des valeurs continues sur l'intervalle [0,N], tu cherches sa fonction de répartition.
Oui, tu peux trouver cette fonction de répartition, qu'on appelle la loi Irwin-Hall http://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E...l_distribution

En jetant un coup d'oeil, sur la page wikipedia, tu vois une fonction de répartition assez tordue. Si je suppose que tu arrives à trouver cette fonction de répartition. L'utiliser pour calculer:
- espérance de S_N
- variance de S_N
va s’avérer très laborieux.

donc on ne veut pas trop se préoccuper de "ce que veut dire la loi S_N",

[invite5805c432]

sinon pour ta question:

tu sais que dans R^3
si vecteur u orthogonalà vecteur v, u.v=0
alors ||u+v||^2= ||u||^2+ ||v||^2

en proba, si 2 variables aléatoires sont non corrélées, ie: E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= 0.
Alors var(X+Y)= VAR(X)+ VAr(Y) (*)
note que Var(X)= E[(X-E(X))^2]

Maintenant, si 2 variables sont indépendantes, elles sont non corrélées, donc verifient (*)

Peut etre pour se clairifer les idées, il faut regarder des variables discrètes, mais il faut que je réfléchisse plus longtemps.

[invite268a2dad]

J'suis désolé mais je ne comprends pas trop ce que je dois mettre pour la 2