Besoin d'aide spé maths

[invitecb82f686]

Bonjour,

J'ai deux exercices à faire pour la rentrée en spé maths, et autant vous dire qu'actuellement je suis coincée. Commençons par le premier.

Je dois montrer par récurrence que pour tout a entier naturel, on peut écrire a sous la forme : a = 3m + 5n, avec m et n deux entiers naturels.

Pour l'initialisation, c'est bon. Par contre là où ça bloque, c'est pour l'hérédité. En gros j'ai écris :

Supposons qu'il existe un entier naturel a supérieur ou égal à 8 tel que P(a) est vrai [j'ai défini P(a) au départ]. Montrons que P(a+1) est vraie :

a+1 = 3m + 5n +1

Et après... je coince. Le but (je pense) étant que j'arrive à :

a+1 = 3(m+1) + 5(n+1)

Mais je ne vois pas du tout comment faire. C'est dommage parce que la suite de l'exercice après c'est bon, mais là je vois pas du tout comment faire. Je m'en remet donc à vous pour essayer de mieux comprendre la démarche.
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[invite8ab5fa54]

Je dois montrer par récurrence que pour tout a entier naturel, on peut écrire a sous la forme : a = 3m + 5n, avec m et n deux entiers naturels.

C'est donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à 8 et pas pour tout entier naturel.

a+1 = 3(m+1) + 5(n+1)

.
Pourquoi forcément "m+1" et "n+1" ? ça peut être d'autres entiers naturels.
D'ailleurs 3(m+1) + 5(n+1) = 3m + 5n + 8 = a + 8 et ce n'est pas égal à a+1.
Par contre , une indication : ajouter 1 est équivalent à ajouter 6 et retrancher 5.

[inviteea028771]

Petite aparté : J'ai du mal à comprendre l'usage de la récurrence ici, puisque ça se fait de façon directe simplement.

On a (comme l'a fait remarqué Noct) 3*2+5*(-1) = 1, donc en multipliant tout par a : a = 3*(2a)+5*(-a)

Mais puisqu'il est demandé une récurrence, il faut faire une récurrence

[invite2b0650e6]

Petite aparté : J'ai du mal à comprendre l'usage de la récurrence ici, puisque ça se fait de façon directe simplement.

On a (comme l'a fait remarqué Noct) 3*2+5*(-1) = 1, donc en multipliant tout par a : a = 3*(2a)+5*(-a)

Mais puisqu'il est demandé une récurrence, il faut faire une récurrence

Ce n'est pas aussi simple:

m et n deux entiers naturels

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Une autre information utile : 3*(-3) + 2*5 = 1

[invite2b0650e6]

Bonjour,


Voici ce que je ferais

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'il existe un entier tel que P(a) est vraie

1er cas/ Si , Alors ... (S'aider du fait que )

2ème cas/ Si , Alors ... (S'aider du fait que )

3ème cas/ Si et , Alors donc, il y a une quantité raisonnable de valeurs à tester

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,


Voici ce que je ferais (petite modification de la solution précédente

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'il existe un entier tel que P(a) est vraie

1er cas/ Si , Alors ... (S'aider du fait que )

2ème cas/ Si , Alors ... (S'aider du fait que )

3ème cas/ pas de 3ième cas

[invite2b0650e6]

Ah oui zut c'est exact

[inviteea028771]

Ce n'est pas aussi simple:

m et n deux entiers naturels

Mea culpa, j'ai lu trop vite :$

[kaderben]

Bonjour
a>=8, m>=0, n>=0
mais alors comment écrire 9=3*...+5*... ?

pour tout a entier naturel, on peut écrire a sous la forme : a = 3m + 5n, avec m et n deux entiers naturels.

Cette affirmation est elle ?

[invite8ab5fa54]

Bonjour ,
9 = 3*3 + 5*0

[kaderben]

Je suis bête!

Cette affirmation est alors vraie ?

[kaderben]

Bonjour
Je ne sais si le topic a été abandonné mais d'après l'indication de Noct:

Par contre , une indication : ajouter 1 est équivalent à ajouter 6 et retrancher 5.

a+1=3n+5m+1
a+1=3n+5m+3*2-5*1
a+1=3(n+2)+5(m-1)
donc existe bien deux entiers naturels n'=n+2 et m'=m-1
ce qui prouve l'hérédité de la propriété

est ce correct?

Merci pour vos commentaires

[invite2b0650e6]

Bonjour
Je ne sais si le topic a été abandonné mais d'après l'indication de Noct:


a+1=3n+5m+1
a+1=3n+5m+3*2-5*1
a+1=3(n+2)+5(m-1)
donc existe bien deux entiers naturels n'=n+2 et m'=m-1
ce qui prouve l'hérédité de la propriété

est ce correct?

Merci pour vos commentaires

Non, c'est incomplet (cf message #7)

[kaderben]

si m>2
a+1=3n+5m+2*5-3*3
a+1=3(n-3)+5(m+2)

si n>0
a+1=3n+5m+3*2+5*(-1)
a+1=3(n+2)+5(m-1)

Je ne comprends pas bien ces conditions sur n et m
Quels sont ces entiers a qu'on ne peut pas écrire si n=0 ou si m={0;1;2} ?

[invite2b0650e6]

Il faut absolument d'après l'énoncé que m et n soient naturels (donc pas négatifs)