Trigonométrie

[inviteebe75c01]

Bonjour,
Notre professeur nous a demandé de trouver les solutions de l'équation tan²(x)-cos(x)+1=0 dans ]-π/2;π/2[.
Sachant que 1+ tan²(x) = 1/ cos²(x).
J'ai donc fait:
tan²(x)= 1/cos²(x) -1
donc :
1/cos²(x) -1-cos(x)+1=0
1/cos²(x) -cos(x)=0
1- cos(x)*cos²(x) / cos²(x)=0
1- cos^3(x)=0
cos(x)=1
donc cos (x) = cos 0
Est ce que cela vous semble bon?
Merci d'avance
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[PlaneteF]

Bonjour,

Et donc quelle est ta conclusion ?

Cordialement

[inviteebe75c01]

Ma conclusion est que l'unique solution est 0.

[gerald_83]

Bonjour,

C'est Ok pour moi

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteebe75c01]

D'accord merci

[PlaneteF]

Ma conclusion est que l'unique solution est 0.

En toute rigueur ton raisonnement n'est pas correct.

Pourquoi ?! ... Parce que dans ta rédaction tu as écrit 2 fois "donc" (et non pas "si et seulement si"), ainsi ce que tu as démontré c'est que : Si est solution, alors . Ce qui ne veut pas dire que est solution. On pourrait très bien ne pas avoir de solution du tout. Donc pour être parfaitement rigoureux tu es obligé de vérifier que est bien solution de l'équation pour pouvoir conclure ; ou sinon tu remplaces "donc" par "si et seulement si" et là pas de vérification à faire.

Cordialement

[gg0]

Bonjour Isana.

une résolution complétement différente :
tan² x et 1-cos x sont deux expressions positives ou nulles. Leur somme tan²x-cos x+1 ne peut être nul que si tan² x et 1-cos x sont tous les deux nuls. tan² x et 1-cos x étant non nuls sur ]-pi/2, pi/2[ si x n'est pas nuls, la seule solution possible est x=0 qui est bien solution.

Cordialement.

[PlaneteF]

ou sinon tu remplaces "donc" par "si et seulement si" et là pas de vérification à faire.

J'ajoute cette précision importante : Attention à ne pas mettre machinalement des équivalences à chaque passage de ligne, ici on peut le faire, en d'autres nombreuses circonstances cela est complètement faux ! ... En fait il faut toujours se poser cette question.

Cdt

[PlaneteF]

En fait il faut toujours se poser cette question.

(oups, pas eu le temps de terminer ma phrase ) ... lorsque l'on raisonne par équivalences : "Ai-je le droit de le faire ?"

Cdt

[inviteebe75c01]

Merci pour cette solution, elle me paraît très intéressante car je n'avais pas du tout pris en compte le fait qu'on puisse résoudre le problème autrement que par le calcul! Eh oui, on oublie souvent de réfléchir autrement ^^'

[inviteebe75c01]

D'accord merci beaucoup j'en tiendrai compte lors de ma rédaction qui est de plus très importante aux yeux de mon professeur