Exo Congruences

[invite0ecfd0d9]

Bonsoir,

Voici un exercice sur les congruences où je bloque :


Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de ces nombres :
* 57^2018
* 83^2019
* 2018^2018

Voici ce qu j'ai fait :

* 57 congru 29 (7)
57 congru 22(7)
57 congru 8 (7) car 22 congru 8(7)
57 congru 1(7)
donc
57^2018 congru 1 (7)

* 83 congru 76(7)
83 congru 69(7)
83 congru 6(7)
83 congru -1(7)
donc
83^2019 congru -1(7)
d'où
83 congru 6(7)

*2018 = 2*1009
2018 congru 2(7)
2018 congru 1(7) car 2 congru 1(7)
2018 congru 1(7)
2018^2018 congru 1 (7)


Voila ! je ne suis pas très sur du 2ème et du 3ème ...

si quelqu'un veut bien me débloquer merci .

Cordialment
-----

[danyvio]

Pour le 1 et le 2 : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? En divisant (comme à l'école primaire) 57 par 7 tu trouves immédiatement le reste 1
Idem en divisant 83 par 7 on trouve bien 6 comme reste soit -1, ce qui permet ensuite (ce que tu n'as pas fait) de trouver facilement ce qui est demandé.
Quant au 3 je lis des horreurs Refais le comme indiqué par mon petit conseil ci dessus.
Cordialement

[invite0ecfd0d9]

Tout d'abord merci de m'avoir répondu
Oui je me suis trompé en tapant normalement à la fin j'obtiens : 83^2019 congru 6 (7)
Pour le troisième j'ai fait la division euclidienne et j'ai :
2018 congru 2 (7)
Apres je ne sais pas trop quoi faire

Cordialement

[gg0]

Examine les puissances successives de 2, modulo 7. Tu vas avoir une belle propriété.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ecfd0d9]

J'ai trouvé que 2018 congru 2^4(7)

[gg0]

Bof ! 2018 est congru à 2 modulo 7, tu t'en es déjà servi. Et à quoi te servirait de remplacer 2 par 2^4 ?

Tu n'as pas vraiment cherché ce que je te proposais de chercher.

[invite0ecfd0d9]

Ok après bien des calculs je trouve ceci

2018 congru 16 (7)
2018^2018 congru 16^2018
2018^2018 congru 16^3*672+2
2018^2018 congru 1^672 +2 car 16^3 congru 1 (7)
2018^2018 congru 16² (7)
2018^2018 congru 256 (7)
or 256 congru 4 (7)
donc
2018^2018 congru 4 (7)

le reste de cette division euclidienne est de 4

coridialement

[gg0]

Tu t'es compliqué la vie :
2018 = 2[7]
2^3=1[7]
Donc modulo 7
2018^2018=2^2018=(2^3)^672*2^2 =4

Cordialement.