Bonjour / à chaque personne qui lira ce message.
Je souhaiterai une confirmation ou une infirmation à ma démonstration au sujet de l’équivalence entre un système linéaire de deux équations à deux inconnues et "ce" système lorsqu'il a subit une combinaison linéaire.
Définition : Deux système linéaires sont dits équivalents s'ils admettent le même ensemble de solutions
D'après cette définition, il est aisé de montrer que deux systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues sont équivalents si les équations qui les composent sont elles même équivalentes.
Si E(1) <=> E'(1) et E(2) <=> E'(2) alors {E(1) et E(2) <=> {E'(1) et E'(2)
Ici il n'y a qu'une implication entre les deux assertions et non une équivalence, en effet il faut et il suffit que l'élément solution du système appartienne aux deux équations du système pour avoir une équivalence entre deux systèmes mais si par exemple un élément est solution de E(1) mais pas de E(2) et ensuite pas non plus de E'(1) alors il y a toujours une équivalence car les systèmes ont toujours le même ensemble de solutions qui correspond à l'intersection des ensembles solutions de leurs deux équations. A partir de cela je voudrai savoir si je peux construire l’équivalence d'un système et d'un autre avec sa combinaison linéaire de cette façon :
Soit le système A : {ax + by = c et a'x + b'y = c'
Notons S son ensemble solution
Notons k et j les deux réels non nuls tels que k*a = - l*a'
Si le couple de réel (x;y) appartient à S, alors on a bien :
A : {ax + by = c et a'x + b'y = c' => { k*by + l*b'y = k*c + l*c' et a'x + b'y = c' car k*ax + k*by + l*a'x + l*b'y - k*c - l*c' = 0
Autrement dit, on a : A: {k*by + l*b'y = k*c + l*c' et a'x + b'y = c'
Sauf que en maths comme en amour c'est toujours la réciproque qui coince, je n'arrive pas avec la méthode a = b <=> a - b = 0 à montrer la réciproque, en effet on ne peut plus faire ré-apparaître les x.
Mais avec ce qu'on a vu au début il y a peut-être encore une chance (très dramatique hein ? Non ? Ok...)
Théorème : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues admet soit aucun couple solutions, soit un unique couple solution, soit une infinité de couples solutions.
On va donc faire une disjonction des cas
[LIST=1]
[*]Cas où le système admet une unique solution :
On va finir par aboutir à un système de la forme {y = h (h étant un réel fixé) et a'x +b'y = c'
Par contraposée, si y est différent de h, alors le couple de réels (x;y) choisit ne sera pas solution du système original A.
Et si on considère que h ne fait pas partie du couple de réels solution du système (en gros que l'on a pas d'équivalence entre A et le système obtenu après combinaison linéaire) alors notre système n'admet aucun couple solution, ce qui est contradictoire avec notre hypothèse de départ.
Le réel x solution est toujours nécessairement présent dans la seconde équation du système combiné.
Les deux systèmes ont donc le même ensemble solution
[*]Cas où le système n'admet aucune solution :
Si le système n'admet aucune solution, c'est qu'il est de la forme {ax + by = c et ax + by = c' avec c et c' des réels différents.
Après une quelconque combinaison linéaire par 1, on va donc tomber sur c = c' ce qui est une contradiction.
Ainsi donc les deux système ont le même ensemble de solution qui est l'ensemble vide et sont donc équivalents
[*]Cas où le système admet une infinité de solutions
Le système est alors composé de deux équations équivalentes, après une combinaison linéaire, la combinaison linéaire est ici complètement inutile car on va obtenir une équation de la forme 0=0 ce qui est contradictoire avec la définition d'un système car dans chaque ligne il doit y avoir au moins un coefficient d'inconnue réelle non nul.
Je vous remercie de votre patience, je ne savais pas exactement où poster ce message, je suis en train de me refaire les programme du collège et du lycée avec une approche différente, j'ai préféré le mettre ici et que ce ne soit pas approprié plutôt que de le mettre dans la section du supérieure et qu'on me dise de retourner dans le bac à sable
Dans tous les cas je vous remercie infiniment de m'avoir lu, j'ai fait une faute ou que quelque chose n'est pas clair merci de me le dire, je vous souhaite une bonne journée/soirée/nuit
Guillaume
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