Système d'équation à deux inconnus

[mpiuy]

Bonjour bonjour ;
Je suis en 1ère S et je profites de mes vacances en faisant quelques exercices de maths pour réviser () et je bloque sur un exercice.
Soit C1, un cercle de centre O1 ( 1 ; 0 ) et de rayon 1
Soit C2, un cercle de centre O2 ( 2 ; 2 ) et de rayon 2
a)Calculer la distance O1O2. En déduire que les cercles C1 et C2 sont sécants.
Pour cela pas trop de difficulté, je calcule le vecteur C1C2 ( 1 ; 2), puis sa norme et je finis par tomber racine(5)
Puis j'ajoute les deux rayons 1+2=3 et je compare à racine(5), 3 est supérieur donc les cercles sont sécants.

b)Calculer le point d'intersection A1 et A2 des cercles C1 et C2.
C'est là ou je bloque.
Je pose l'équation des cercles C1 et C2
C1 : (x-1)² + y² = 1
C2 : (x-2)² + (y-2)² = 4
Pour trouver les points d'intersections A1 et A2 il me suffit de résoudre le système d'équation avec C1 et C2, seulement je n'arrive pas à le résoudre.
J'ai beau tourner et retourner le système en utilisant la substitution, il me reste toujours du x et du y.

Merci d'avance de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Pour le a), ça ne suffit pas. Si C2 avait eu pour rayon 10, 1+10 est supérieur à racine(5), mais les cercles ne se coupent pas.
Pour le b, en soustrayant les deux équations, tu obtiendras une équation plus "sympa".

Cordialement.

[Naturex]

Bonjour !
Dans un système à plusieurs équations, tu peux faire des combinaisons linéaires des lignes (par exemple, L1, la ligne 1 peut être transformée en 5L1 - 7L2).
Ici, une combinaison linéaire simple te donne accès à une ligne avec des x et des y à la puissance 1, et là, tu pourras appliquer ta méthode de substitution.

[mpiuy]

Effectivement pour la a), si je ne me trompe pas, pour que deux cercles sois sécants il faut que la distance entre les deux centres soit inférieur à la somme des rayons mais aussi supérieur à la différence des deux rayons.
Si les rayons sont 10 et 1, 10-1 = 9, racine(5)<11 mais elle doit aussi etre supérieur à 9 pour que les cercles soit sécants, ce qui n'est donc pas le cas si j'ai bien compris
je regarde la b) merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[mpiuy]

J'ai réussi à exprimer x en fonction de y, en effet je ne savais pas qu'on pouvait tout simplement soustraire les deux ligne.
Après quelques lignes de calcul je trouver x = 2-2y ; je résoud donc ensuite mon système d'équation et je trouve y = 0 ou y = 4/5.

Mais un autre problème se pose à moi, il faut maintenant que je cherche x.
Pour cela je prends l'expression de C1 (que j'ai développé) x²-2x+y²=0 et je remplace y par 0 et par 4/5.
Pour 0 par exemple j'ai donc x²+2x=0, mais lorsque je résoud ceci je trouve deux résultats 0 et 2
Pareil pour y=4/5 , je trouve encore deux solutions à l'équation : 2/5 et 8/5.

Je ne sais pas où se trouve mon erreur merci de votre aide .

[gg0]

Pourquoi ne pas utiliser x=2-2y ?

Cordialement.

[gg0]

Mpiuy :

je ne savais pas qu'on pouvait tout simplement soustraire les deux ligne.

En fait, ce que tu obtiens est une conséquence du système. Donc si (x,y) est une solution du système, c'est aussi une solution de cette nouvelle équation.
Plus intéressant, le système :
A=B
C=D
est équivalent au système
A=B
A-C=B-D
puisque c'en est une conséquence, mais qu'on peut obtenir facilement le premier système à partir du deuxième (recopier la première équation; soustraire la deuxième à la première; en fait on applique le même passage d'un système à un autre).
Donc les solutions de
(x-1)² + y² = 1
(x-2)² + (y-2)² = 4
sont les solutions de
(x-1)² + y² = 1
(x-1)² + y²-((x-2)² + (y-2)²) = 1- 4

Cordialement.

[mpiuy]

Merci beaucoup de votre aide et de votre patience, grace à vous j'ai trouver A1 ( 2;0 ) et A2 ( 2/5 ; 4/5 ) .
Mais j'aurais une dernière question sur les systèmes si ce n'est pas trop demander .
Si je résume bien j'avais ce système :
A = B
C = D
(x-1)² + y² =1
(x-2)² + (y-2)² =4
J'ai aussi C-A = B-D
x = 2-2y

Ces trois relations sont donc équivalentes, et en effet si je remplace le x dans la première ou deuxième expression je trouve le même résultat, y = 0 ou y = 4/5
Mais si ces relations sont équivalentes, lorsque je vais remplacer y par 0 puis par 4/5 je devrais trouver le même résultat dans les 3 expressions, or dans la première et la deuxième je trouve un total de 4 résultats à cause du second degré (où figure d'ailleurs à chaque fois le bon résultat : x=2 ou 0 pour y=0, et x= 2/5 ou 8/5 pour y = 2/5), mais dans la troisième je trouve uniquement les 2 bon résultats c'est à dire x= 2 ou 2/5.

Merci d'avance de vos explication

[gg0]

Ces trois relations sont donc équivalentes,

Absolument pas. J'ai présenté très clairement les choses, ne les trahis pas ! Ce sont des systèmes d'équations qui sont équivalents.

Donc je n'ai pas besoin d'expliquer quoi que ce soit, puisque tu n'utilises pas vraiment les bonnes méthodes.

Mais il faut retenir que lorsqu'on manipule des équations sans précautions, on peut introduire des solutions parasites, qu'il faudra éliminer ensuite. Un exemple criant :
si x=3, alors 3=x, et par addition de ces deux égalités, x+3=3+x
l'équation x=3 a une seule solution; l'équation qu'on en a déduite a toujours 3 comme solution, mais aussi une infinité d'autres(tout réel est solution).

Une remarque encore : On sait qu'il y a deux solutions (les cercles sont sécants, donc il y a à priori deux points). En utilisant x=2-2y, on en trouve 2 (à la fin, x et y étant calculés), ce sont donc les solutions.

Cordialement.

[mpiuy]

D'accord je compreds merci de votre aide, elle m'a été très utile