DM 1èreS

[Roudier17]

Bonjour, je suis actuellement en 1èreS et j'ai un DM de maths à rendre pour lundi prochain. Le problème c'est qu'il y a quelques questions pour lesquelles je ne suis pas sûre ou alors sur lesquelles je bloque, si quelqu'un pourrait m'aider et m'expliquer comment faire ce serait génial
Voilà l'énoncé :

Partie A : Trigonométrie
1) Soit θ un élément de ]-pi,pi], en remarquant que 3θ=2θ+θ, montrer que cos(3θ)=4cos^3(θ)-3cos(θ) et que sin(3θ)=3sin(θ)-4sin^3(θ)
2) Résoudre dans R l'équation : (E) : cos(3θ)=1/2 et en déduire les solutions de (E) dans ]-pi,pi]

Partie B : Etude d'une fonction
On définit la fonction f sur [-1,1] par f(x)=4x^3-3x
3) Déterminer sa fonction dérivée f', étudier le signe de f'(x)
4) Déterminer les extremums de la fonction f' et dresser son tableau de variation
5) Résoudre à l'aide de votre calculatrice l'équation f(x)=1/2
6) Montrer que : f(cos(θ))=1/2 équivaut à cos(3θ)=1/2
7) En déduire les solutions de l'équation f(x)=1/2
8) Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé et identifier graphiquement les solutions de l'équation f(x)=1/2

Maintenant, voilà ce que j'ai déjà fait :
- Partie A : 1) J'ai réussi à faire les démonstrations
2) Là je coince un peu, je ne sais pas comment faire pour résoudre l'équation donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait super sympa ^^

- Partie B : questions 3) à 4) j'ai réussi, il n'y a pas de problèmes
5) je l'ai fait mais j'aimerais savoir si c'est juste, j'ai mis l'équation sous la forme 4x^3-3x-1/2=0 (du troisième degré que j'ai résolu avec ma calculatrice) et j'ai trouvé trois solutions qui sont (en valeur approchée) : x1=0.9396, x2=-0.1736 et x3=-0.7660
6) je ne sais pas trop comment faire, est-ce qu'on doit faire une démonstration ou juste par une phrase ? Aidez-moi pour celle-là aussi s'il vous plaît
7) pour celle-là je suis un peu perplexe car on à déjà trouvé les solutions de l'équation dans la question 5 non ?
8) le graphique c'est fait, il n'y a pas de problème

Voilà, j'espère que quelqu'un pourra m'aider pour les questions sur lesquelles je ne suis pas sûre et je remercie d'avance la ou les personnes qui le feront ! ^^
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[gg0]

Bonjour.

Avec le cercle trigonométrique, tu peux voir quels sont les nombres dont le cosinus vaut 1/2. Il y en a deux entre 0 et 2 pi, et touts ceux qui s'en déduisent à 2 pi près.

Cordialement.

NB : Que ce soit important pour toi ne veut pas dire que ton message est plus important qu'un autre sur ce forum.

[Roudier17]

D'accord, merci beaucoup
Par contre pour ceux qui se déduisent à 2 pi près comment on fait ? Je ne suis pas très douée pour résoudre les équations trigonométriques

[Roudier17]

Je viens de regarder avec le cercle trigonométrique et les deux nombres dont le cosinus est égal à 1/2 sont pi/3 et -pi/3 mais comme on doit résoudre l'équation cos(3θ)=1/2 alors θ vaut pi/9 ou -pi/9, est-ce que c'est ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Comme tu as deux nombres dans un intervalle de longueur 2pi, tu as deux infinités de nombres dont le cos vaut 1/2, puisque x et x+2pi et x-2pi ont le même cos. Donc les nombres dont le cos est 1/2 sont les pi/3 +k.2pi et pi/3 + k'.2pi, où k et k' sont n'importe quel entier relatif.
3θ= pi/3 +k.2pi donne θ= ... et il ne te reste plus qu'à chercher, parmi ces nombres, lesquels sont dans le bon intervalle ("Soit θ un élément de ]-pi,pi]").
Idem pour l'autre cas.

Bon travail !

[Roudier17]

Merci beaucoup, j'ai réussi à résoudre l'équation grâce à vos explications et j'ai vérifier que les solutions que j'ai trouvé fonctionnaient ^^
Encore merci, je comprends mieux comment on résout une équation trigonométrique maintenant

Encore une question, pour la partie B question 7 on nous demande de déduire les solutions de l'équation f(x)=1/2 après avoir démontré dans la question 6 que f(cos(θ))=1/2 équivaut à cos(3θ)=1/2. Est-ce que ça veut dire que les solutions qu'on à trouvé en résolvant l'équation trigonométrique fonctionnent si elles font parties de l'intervalle [-1,1] ?
Encore merci pour vos explications !

[gg0]

Résoudre f(x)=1/2 avec x compris entre -1 et 1 revient à résoudre f(cos(θ))=1/2 avec θ variant par exemple de 0 à Pi (les cos des nombres entre 0 et pi prennent toutes les valeurs entre -1 et 1).
Ce qui permet, puisqu'on sait trouver θ, de trouver x=cos(θ).
Cordialement.