Polynôme positif

[invite2b0650e6]

Bonjour,

Avez-vous une idée pour ceci :



Démontrer que pour tout , c'est à dire qu'il n'y a aucune racine entre 0 et 1.

J'ai regardé le graphe sur un logiciel et est positive sur l'ensemble des réels.

Toute méthode est acceptée et toute aide est la bienvenue.

Merci d'avance
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[invite7c2548ec]

Bonjour;

Vous calculer ainsi que , si et sont tout deux strictement positifs ou les deux strictement négatifs implique que ne s'annule pas dans l’intervalle considérer.

Cordialement

[gg0]

Totalement faux, Topmath.

1-5y(1-y) est positif pour y=0 et y=1 mais s'annule deux fois entre 0 et 1

[invite7c2548ec]

Exacte gg0 merci pour le contre exemple.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Titiou64]

Bonsoir,

Une méthode bourrin qui devrait marcher : calculer les 10 premières dérivées de la fonction. Puis, en fonction du tableau de signe et des variations, tu remontes de dérivées en dérivées jusqu'à ta fonction initiale.

Bon courage

[invite2b0650e6]

Merci Titiou c'est ce que je vais faire (si je survis psychologiquement jusque-là)

[phys4]

Les méthodes ne semblent pas très efficaces, je suggère une autre méthode :
1 - au vu des signes des différents termes , il est facile de voir que pour y < 0, tous les termes sont positifs et que le polynôme ne peut s'annuler.

2- si l'on fait un changement de variable z = y - 1, z sera négatif sur l'intervalle -inf, 1 de y.

Le changement devrait donner un polynôme similaire en z et donc permettrait de conclure qu'il n'y a pas de racine entre 0 et 1 pour y.

[invite2b0650e6]

Le polynôme en z est

Ce qui est exactement le polynôme en y avec des + partout !

Malheureusement, je ne parviens pas à conclure

[phys4]

Effectivement je ne m'attendais pas à cela, car il signifie qu'il n'y a pas de racine positive en z, puisque tous les termes seraient positifs.

Il y a une symétrie bizarre : ce sont les mêmes valeurs, seuls les signes changent ?

[invite2b0650e6]

Oui, c'est extrêmement déroutant

[epiKx]

Avez-vous pensé au changement de variables y=z+1/2? (changement de variables naturel au vu de la courbe symétrique par rapport à l'axe y=1/2)
Cordialement,
epiKx.

[phys4]

La symétrie montre que l'axe y = 1/2 est un axe de symétrie.

Cette fois j'ai essayé le changement y - 1/2 = t et cela donne un polynôme n'ayant que des termes pair tous positifs.

La preuve est faite que ce polynôme n'a aucune racine réelle.
C'est plus que ce qui est demandé, je pense donc qu'il doit exister une solution plus simple à partir d'une combinaison de coefficients.

[Seirios]

C'est déjà vraiment simple comme solution, non ?

[phys4]

Oui, simple en principe

C'est déjà vraiment simple comme solution, non ?

Si l'on met à part, deux pages de calcul pour les développements des (t + 1/2) jusqu'à la puissance 10 et leur remplacement dans le polynôme.

[invited3a27037]

bonjour
si ça peut aider voici comment wolframalpha transforme f(y):

f(y) = 3 (y-1) y ((y-1) y ((y-1) y (3 (y-1) y (6 (y-1) y+25)+92)+79)+32)+28

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%5E2-96+y%2B28

[invite2b0650e6]

Bonjour,
Merci pour cette jolie solution Epikx et phys4
Il n'est pas nécessaire de savoir que la droite est un axe de symétrie pour démontrer l'énoncé, mais j'aimerais quand même comprendre comment vous déduisez cela rien qu'en sachant que

et

Il ne me parait pas trivial que l'on peut en conclure pour tout réel z.
Merci d'avance pour les explications

[epiKx]

Bonjour,
Gandhi33, comment traduisez-vous la 2ème égalité seulement en fonction de f et y? f(y+1)=f(... y ...) (il reste à compléter les ...) Une fois ceci fait, il ne reste qu'à poser y= ... z ... pour avoir l'égalité voulue.
Cordialement, epiKx.

[invite2b0650e6]

Parfait merci beaucoup