Polynôme positif

[kaderben]

Bonjour!

Question:montrer que tout polynôme P du second degré, positif est la somme de deux carrés de polynômes: P=A^2+B^2

Ci joint la démonstration de l'auteur( le 3° fait parti d'une autre question)
La conclusion de l'auteur est que A est du premier dégré et B est constant.
Or on peut donner un contre exemple:A=(x+1)^2 et B=(-3x+5)^2
p=A^2+B^2=10x^2-28x+26 qui est un pôlynome positif alors que B n'est pas constant.

Que pensez vous?
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[Médiat]

Question:montrer que tout polynôme P du second degré, positif est la somme de deux carrés de polynômes: P=A^2+B^2

Or on peut donner un contre exemple:A=(x+1)^2 et B=(-3x+5)^2
p=A^2+B^2=10x^2-28x+26 qui est un pôlynome positif alors que B n'est pas constant.

Ce n'est pas un contre-exemple, car ce polynome peut s'écrire autrement, et en particulier sous la forme indiquée.

[inviteaf1870ed]

Et il me semble que l'on n'a pas besoin de distinguer les deux cas car le premier est un cas particulier du second avec b²-4ac=0

[kaderben]

Mais pourquoi la démonstration de l'auteur n'aboutit pas dans un cas général: A et B sont de la forme ax+b avec a et b réels (et il se peut que a soit nul).
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

En fait il suffit de dire que comme le polynôme est positif, il ne peut avoir deux racines distinctes, donc b²-4ac est négatif ou nul.
On suit ensuite la démonstration du deuxième cas qui est valable pour b²-4ac nul; et on aboutit au résultat demandé.

[kaderben]

Finalement je me suis posé une question qui ne se pose pas...