Loi normale et estimation
Salut à tous
Alors voilà, j'ai un dm...Et je bloque sur quelque question :
Un laboratoire pharmaceutique souhaite produire un nouveau médicament. Il faut pour cela ajuster le dosage de la substance active dans chaque comprimé. Plusieurs techniques sont envisageables : toutes fournissent un dosage aléatoire X, plus ou moins précis, suivant une loi normale N(μ,σ²) où μ ≥ 0 et σ > 0. A chaque technique industrielle est associé un unique σ la précision du dosage induit. De plus quelque soit la technique choisie, le dosage moyen peut être réglé grâce au paramètre μ.
Si la substance en teneur active est trop importante, le médicament peut devenir dangereux. Le laboratoire considère ainsi que X doit être inférieur à 60 microgrammes avec une probabilité supérieure à 0.999. Inversement, si X est trop faible, le médicament n'est plus efficace ; le laboratoire souhaite donc que X soit supérieur à 40 microgrammes avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
1) Justifier que les deux exigences du laboratoire se traduisent par le système :
. P(X≤60) ≥ 0.999
. P(X≤40) ≤ 0.05
2) Soit Z, une variable aléatoire suivant la loi N(0; 1). Ecrire le système précédent en fonction de Z.
3) En déduire que µ et σ, doivent vérifier :
(40- µ)/ σ ≤ -1.64
(60 - µ)/ σ ≥ 3.09
4) Supposons que l'on choisissent une technique de dosage industrielle particulière. Cela revient à fixer σ >0. A quelle intervalle, dépendant de σ doit appartenir µ ?
5) En déduire la valeur maximale possible pour le choix de σ. On le notera σ(max)
6) Plus la technique industrielle est précise dans sont dosage, plus elle est chère à mettre en œuvre.
Le laboratoire désirant minimiser son coût de production, il à intérêt à choisir une technique industrielle associé au σ le plus grand possible, tout en permettant de respecter les exigences de dosage. Le laboratoire choisit donc la technique industrielle associée à σ(max) . Quelle valeur du dosage moyen µ devra-t-il enfin choisir pour respecter ses exigences?
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1. Etant donner que on pose X, le dosage aléatoire. Or X doit être inférieur à 60 microgrammes avec une probabilité supérieure à 0.999
Ainsi X ≤ 60 mg
P(X ≤ 60) ≥ 0.999
De plus, le laboratoire souhaite donc que X soit supérieur à 40 microgrammes avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
C'est à dire : pour X≥40 mg on a : P (X≥40) ≥0.95
Ainsi P ( X≤40 ) ≤ 1 - P(X ≥ 40) ≤ 0.05
2.Sachant que :
P(X ≤ 60) ≥ 0.999
P ( X≤40 ) ≤ 0.05
On pose Z = (X - µ)/ σ , or Z suit une loi N de paramètre (0, 1)
Donc : . P (60 - µ)/ σ) ≥ 0.999
. P (40 - µ)/ σ ≤ 0.05
On en déduit :
P(Z ≤ (60 - µ)/ σ)
P( Z ≤ (40 - µ)/ σ)
3. Je ne sais pas comment utiliser ma calculatrice pour trouver ces résultats ( ps : ma calculatrice est une casio graph 35+)
4. D'après la question 3, on sais que :
(60 - µ)/ σ)
(40 - µ)/ σ)
On en déduit ainsi que :
(40 - µ)/ σ)≤ -1.64 soit µ≤ 1,64 σ + 40
Et on a:
(60 - µ)/ σ) ≥3.09 soit µ≥ 3.09 σ +60
5. -3.09 σ + 60 < 1.64 σ +40
On résout et on obtient : σ < (2000)/473
Merci
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