Probabilité (loi Poisson)

[invite05ccbb13]

Bonjour,

Voici l’énoncé :
Un cueilleur de champignons récolte N champignons; N est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre 5. Chaque champignon a une probabilité 2/3 d'être comestible, et les comestibilités de champignons différents sont supposées indépendantes.

a) Quelle est la probabilité que la récolte comporte 2 champignons, dont un seul comestible?
b) Quelle est la probabilité que la récolte ne comporte aucun champignon comestible?

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a) On note C1 = nombre de champignon comestible, C2 = nombre de champignon non comestible. Il y a N=C1+C2 champignons en tout.

On a

. Ensuite je bloque...

b) La probabilité que la récolte ne comporte aucun champignon comestible est le complémentaire de la probabilité que la récolte comporte que des champignons comestibles .

Pouvez-vous m'aider à comprendre?
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[invite8ab5fa54]

Bonjour ,

Ton calcul de P(N=2) est juste , mais pour le reste je pense que tu te mélanges les pinceaux.
D'après la façon dont tu as défini tes variables , P(c1=1) c'est la probabilité de cueuillir exactement 1 champignon comestible, et ce n'est pas cette probabilité qui est égale à 2/3 - et d'ailleurs tu n'es pas censé calculer cette probabilité -
Par contre , s'il y a un truc que tu peux calculer c'est P(c1=1|N=2). Je te conseille de faire un arbre de probabilités afin de mieux visualiser la situation.
Et cela étant dit , connaissant P(N=2) et P(c1=1|N=2) , tu écris ta formule de probas conditionnelles d'une autre façon, et tu peux finalement résoudre la question.

b) La probabilité que la récolte ne comporte aucun champignon comestible est le complémentaire de la probabilité que la récolte comporte que des champignons comestibles

ceci est faux , je te laisse réfléchir à pourquoi.

[invite05ccbb13]

Je ne voit pas comment calculer, ni comment représenter ??
on a récolté 2 champignons dont un seul comestible, donc on a un seul champignon comestible parmi les 2 champignons, c'est à dire un champignon comestible sachant qu'on en a récolté 2.
Donc P(c1=1|N=2)=P(c1=1 et N=2)/P(N=2)= ?

Si 2/3 est la proba qu'à chaque champignon récolté il soit comestible, alors (P(c1=1)+P(c2=1))xP(N=1)

[invite05ccbb13]

Pour la b) on cherche à calculer P(N=c2)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Je passe sur l'irréalisme de l'énoncé (*) pour en venir à la façon de faire. Il faut définir très précisément tes variables aléatoires et tes événements. Tu as appelé C1 le nombre de champignons comestibles, C2 celui des non comestibles et N=C1+C2. En fait, ce qui est dit, c'est qu'il ramasse N champignons (tu connais la loi de N) et que à priori, chaque champignon a la probabilité 2/3 d'être comestible. Donc il faut partir de N et en déduire C1 et C2.

Pour expérimenter ça, supposons qu'il a ramassé 5 champignons (N=5). Quelle est la proba qu'ils soient tous comestibles ? Qu'il n'y en ait que 4 comestibles ? 3 ? 2 ? 1? aucun ? Autrement dit quelle est la loi de C2 dans ce cas ? Tu viens de calculer des probas conditionnelles P(C1=i/N=5)
Tu peux refaire la même chose pour N=2 puis comme tu as calculé des probabilités conditionnelles, tu peux facilement en déduire P(N=2 et C1=1).

Pour la deuxième question, en généralisant ce que tu as fait pour 5 et 2, puis avec la formule des probabilités totales, tu peux traiter ton problème.

Cordialement.

NB : Il est fréquent qu'on ait besoin de bien comprendre le problème général pour en traiter un cas particulier.

(*) Un cueilleur de champignons qui ramasse en moyenne 5 champignons !! Et qui ramasse un tiers de champignons non comestible, c'est un demi-idiot ?

[minushabens]

C'est facile de montrer que si X suit la loi de Poisson de paramètre a et si, sachant X=x, Y suit la loi binomiale de paramètres x et p, alors Y suit la loi de Poisson de paramètre ap. Dans ton cas le nombre de chamoignons comestibles suit la loi de Poisson de paramètre 10/3.