Le nombre caché des carrés parfaits ?

[Sorarx]

Bonjour,
Depuis quelques temps je me suis posé la question d'un nombre qui, comme le nombre d'or est la limite à l'infini du rapport de deux nombres d'une suite (fibonacci, pour le nombre d'or), mais en prenant comme suite les carrés (1,4,9,16,25,36,49,64, etc...).

J'ai commencé à chercher ce matin, en faisant un tableau sur excel, et la courbe semble tendre vers un nombre... N'ayant probablement pas encore tous les outils mathématiques nécessaires pour trouver la solution, j'en appelle à la communauté mathématique (beaucoup trop lyrique, cette phrase...)

En attendant vos réponses, je vais continuer de me torturer l'esprit !
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[Sorarx]

Petite précision,
J'ai trouvé qu'on ajoute à chaque fois "1+2x" x étant le nombre de départ, que l'on mettra au carré (mieux vaut un exemple) :
soit x = 4

4^2 + 1+ 2*4 = 16+1+8 = 16+9 = 25 = 5^2

Ce qui est logique, vu que l'on passe de x^2 à (x+1)^2... identité remarquable (a+b)^2, ce qui donne x^2 +2x + 1

Mais de là, trouver le nombre que je recherche...

[Médiat]

Bonjour,

Si ce que vous calculez est le rapport (n+1)²/n², un simple calcul de limite donne la réponse ...

[Sorarx]

Le problème, c'est que j'entre cette année au lycée, donc les calculs de limite, j'ai vaguement regardé, mais je n'ai pas tout compris... ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

OK, dans ce cas : (n+1)² = n² + 2n + 1 et donc (n + 1)²/n² = n²/n² + 2n/n² + 1/n² = 1 + 2/n + 1/n² et quand n devient très grand, 2/n et 1/n² deviennent négligeables, et il reste 1 (la limite que vous cherchez)

[Sorarx]

Attendez, ça veut dire que, selon cette limite, (n+1)^2 serait égal à n^2 (je ne vais pas dire "à un certain point", vu que la limite, si j'ai bien compris, est en rapport direct avec l'infini) ?

[Médiat]

On peut même être plus précis : en assimilant (n+1)² et n² (pour n grand), l'erreur est de l'ordre de 2/n (donc, pour n = 2000 qui n'est pas bien grand, l'erreur est de l'ordre de 0.001)

[Sorarx]

Bon, merci ^^

[Médiat]

Plus étrange encore si vous calculez le rapport entre un carré parfait et le centième carré parfait qui le suit, le résultat est le même : (n +100)²/n² = 1 + 200/n + 10000/n². La seule différence est que la vitesse de convergence est plus faible (l'erreur pour un n donné est plus grande).

Si vous calculez le rapport entre un carré parfait et le carré de son double, le rapport est constant et égal à quatre : (2n)² / n² = 4.

Autrement dit vous pouvez bien ajouter un nombre constant aussi grand que vous voulez (100 n'est qu'un exemple), la limite est toujours 1, par contre si vous ajoutez le nombre lui-même la valeur (donc la limite) est 4.

[gg0]

Attention, Sorax.

le rapport entre deux nombres peut être très proche de 1 avec une différence entre les deux énorme. Par exemple 10⁸⁰+1000000000 et 10⁸⁰ ont une différence de 1 milliard, mais leur rapport est tellement proche de 1 qu'une calculette dit qu'il vaut 1. Pourtant, ils ne sont pas égaux.

Donc on ne peut pas dire "(n+1)^2 serait égal à n^2 ".

Ce sont les subtilités des limites infinies.

Cordialement.