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Carrés parfaits parmi les termes d'une suite



  1. #1
    Josemi

    Carrés parfaits parmi les termes d'une suite

    Bonjour

    J'ai une suite Un=7n+2, et je cherche à déterminer combien de carrés parfaits il y a parmis les 2003 premiers termes de la suite.

    J'ai calculé U2003, qui fait 14023, et 118^2=13924
    Il y a donc 118 carrés parfaits entre 0 et 14023, mais maintenant je ne sais pas quoi faire pour savoir combien correspondent à Un.

    Je pense que ça doit être en rapport avec les congruences, mais on sait jamais. Pouvez-vous m'aider?

    Merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    zinia

    Re : Carrés parfaits parmi les termes d'une suite

    Bonsoir,
    pour qu'un carré x² appartienne à ta suite, il suffit que si on lui ôte 2, il soit un multiple de 7. Autrement dit que le reste de la division de x² par 7 soit 2
    Il te suffit d'essayer avec tous les restes de 0 à 6.
    Il n'y a que 3 et 4 qui marchent
    Donc les solutions seront de la forme n=3+7k et n=4+7k
    Normalement 118/7 fois deux, en fait 34 car bien que la dernière série soit tronquée elle contient les valeurs fatidiques

  4. #3
    Josemi

    Re : Carrés parfaits parmi les termes d'une suite

    Merci pour ta réponse, mais je suis incapable de suivre ta démarche. Je ne comprends pas pourquoi tu dis d'essayer avec tous les restes de 0 à 6, et donc je ne vois pas très bien d'où sort tout le reste.

    cordialement.

  5. #4
    zinia

    Re : Carrés parfaits parmi les termes d'une suite

    Citation Envoyé par Josemi Voir le message
    Merci pour ta réponse, mais je suis incapable de suivre ta démarche. Je ne comprends pas pourquoi tu dis d'essayer avec tous les restes de 0 à 6, et donc je ne vois pas très bien d'où sort tout le reste.

    cordialement.
    Soit m² un carré parfait. On se demande s'il existe n tel que ou encore
    Pour que ça marche, il faut et il suffit que la division tombe juste.
    Examinons de plus près ce qui se passe pour m. On peut toujours l'écrire m=7a+b avec b<7. En élevant au carré m²=7(7a²+2ab)+b² et donc
    Tu peux donc essayer pour toutes les valeurs possibles de b (il n'y en a que 7) afin de trouver celles qui font "tomber juste" la division par 7 .....

  6. #5
    Josemi

    Re : Carrés parfaits parmi les termes d'une suite

    Merci beaucoup, j'ai compris maintenant.

    Je ne sais pas pourquoi on nous a mis qqch de si difficile, je crois que personne dans ma classe n'a trouvé la solution sans aide.

    Encore merci

    cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura

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