Polynôme de Taylor, erreur d'approximation

[K.Nala]

Bonjour !

J'ai une question concernant "l'estimation de l'erreur de l'approximation d'un polynôme de Taylor", en fait je ne sais pas comment la calculer, si ça a à voir avec le reste ou s'il faut creuser plus loin (et du coup voir s'il y a une propriété du polynôme de Taylor qui permette d'estimer cette erreur).

Pour illustrer ma question, rien ne vaudra un exemple !

Question :
Utilisons un polynôme de Taylor de la fonction autour du point pour déterminer la valeur de . Estimer l'erreur de cette approximation

Résolution :

La fonction choisie sera . Le but de ce polynôme de Taylor étant de permettre une estimation mentale d'un calcul plus "tricky", ça paraît déjà un bon départ de prendre une fonction avec un carré parfait.

La fonction est dérivable deux fois. Il existe donc un polynôme de Taylor d'ordre 2 donné par la formule de Taylor.
La fonction en nous donne :




Ce qui fait un polynôme de Taylor d'ordre 2 autour de 0 égal à
Puisqu'il fallait calculer et qu'on a un polynôme pour , il suffit d'utiliser ce polynôme pour .

Ce qui donne

Ma question

Mais comment estime-t-on l'erreur de cette réponse ? Comment se dit-on : "Ah, voici une réponse qui est à un dixième près la bonne réponse !" ? (et le 1/10 n'est ici que tiré au pif pour illustrer, je n'ai vraiment aucun indice).

Merci pour votre temps et bonne après-midi !
-----

[gg0]

Bonjour.

L'erreur est parfaitement connue, c'est exactement. Mais j'imagine que ce que tu veux, c'est une majoration de l'erreur qui soit plus simple, une incertitude.
Dans le cas où, comme ici, il y a un développement en série, on peut essayer de calculer le reste, qui est une série. Si on a la chance (comme ici) que la série soit alternée, une estimation rapide est le terme suivant, en valeur absolue (cours sur les séries alternées). Ici, 1/524288 comme tu pourras le calculer toi-même.
dans des cas plus compliqués, il faut des méthodes adaptées si on en connaît.

Cordialement.

[K.Nala]

Merci de vous pencher sur le problème !

Alors oui, effectivement le reste il n'y a pas de problème, il y a même la (les je crois ?) formule mais j'ai bien saisi le concept du polynôme et de son reste.
C'est peut-être une majoration de l'erreur, je ne sais pas, ce n'est pas vraiment ce que j'ai pu entendre au cours, je n'ai pas non plus entendu parler des séries alternées. Les séries bien (encore que c'est un chapitre à part) mais je n'ai pas entendu parler de séries dans le chapitre sur Taylor.

Je ne sais pas ce que mon Pr. entend par "estimation de l'approximation" mais par exemple un autre exercice du genre (où là il y a la réponse) avec la fonction logarithme népérien de 1+x pour calculer celui de ln(1.5), il y a tout le développement comme présenté pour l'autre exercice.
Là où je coince, il dit "Par la formule du reste de Lagrange, il existe c compris entre 0 et 1/2 tel que ..." et là il utilise la formule du reste d'une manière que je ne comprends pas pour ensuite la placer entre deux bornes d'inéquation, à savoir 0 et 1/24.
Et puis là, il dit "Ainsi, dans l'approximation de ln(1.5) = 0.375 on commet une erreur d'au plus 1/24

Et ... ça ne me dit rien dans le comment du pourquoi. Je pense bien qu'on doit dire que "c" est compris entre 0 et la valeur que doit prendre x pour approcher la valeur, ici 0.5 puisqu'on cherchait 1.5 et qu'on calculait relativement à ln(1+x). Mais c'est tout ce que j'arrive à comprendre sans plus d'explications, désolé ...

Une capture d'écran du solutionnaire d'un vieil examen comportant cet exercice

Je comprends le début, le reste, même la formule, mais je ne comprends pas cette histoire du "c" et les dernières lignes à partir de "on a alors, puisque 0 ..." plus particulièrement ce qui fait que notre reste soit le "c" et que le 1/2 devienne 1/24

[gg0]

Il faut que tu regardes ton cours, "reste de Lagrange", puisqu'il y est fait allusion. Ensuite, c étant positif, on majore la fraction en minorant son dénominateur ... par 1.
Sinon, le 1/2 ne devient pas 1/24, simplement tu n'as pas fait le calcul. C'est un réel manque de sérieux. Les maths, ça se fait soi-même. Sinon, ça ne sert à rien de lire des corrections. Bizarrement, tu n'imaginerais pas devenir bon en football en regardant des matchs à la télé. C'est la même chose pour tout, il faut pratiquer pour apprendre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]