Formules de trigonométrie.

[Carottin]

Bonjour. Je rentre bientôt en 1re S , et j'ai donc acheté plusieurs livres du programme de cette année. Dedans, les formules d'addition, de linéarisation et de duplication. On part des valeurs remarquables , , , et . Je suis arrivé à obtenir les valeurs pour , , et . Si je ne me trompe pas, je pourrais aussi obtenir : , , et ( ). Ma question : comment obtenir les cosinus et sinus des , , et autres à partir des autres, qui sont toutes multiples de , contrairement à celles-là ? J'ai beau me triturer les méninges, je ne trouve pas. La réponse est peut-être évidente, mais j'attends votre aide avec impatience.
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[mathafou]

tel que tu le demandes, on ne peut pas (déduire les multiples de à partir des autres)
il faut comprendre comment ça fonctionne
on part de la seule donnée des fonctions de (c'est à dire 0)

avec les formules de duplication, on ne peut déduire que les fonctions trigo des angles et rien d'autre

pour aller plus loin il faut diviser le cercle en trois (ou en 6, ou en , c'est pareil via les formules de duplication)
cela se fait "à part" en considérant un triangle équilatéral et Pythagore
on obtient ainsi tous les angles de la forme et rien d'autre

pour aller plus loin il faut diviser le cercle en 5 (ou en 10 ou en , idem)
c'est à dire trouver des relations entre les dimensions d'un pentagone ou d'un décagone régulier.
(hors programme)
ce qui donne les fonctions trigo de l'angle de et donc celles de tous les angles de la forme avec d un diviseur de = 15 et aucune autre

pour aller plus loin etc ...

pour ta curiosité, , où est le nombre d'or, en relation avec les pentagones (rapport diagonale / côté d'un pentagone = nombre d'or)

mais tout ceci est hors programme.

(aller encore plus loin consisterait à diviser le cercle par le nombre premier suivant 7
où à rediviser en 3, c'est à dire à diviser le cercle en 9
ce qui conduit à des formules totalement inutilisables car pas exprimables avec des racines carrées)

[Carottin]

Bonjour et merci pour ta réponse.
En effet, des nombres du type et autres sont des solutions de polynômes de degré donc non constructibles à la règle et au compas, tout comme le polygone régulier à 7 côtés, 11 côtés ou un nombre de côtés du type (à savoir le produit d'une puissance de deux et de nombres de Fermat). Bref (désolé d'étaler ma science), merci pour ton explication concise et très compréhensible.

[mathafou]

c'est un peu plus subtil que ça pour les constructions à la règle et au compas
le critère n'est pas juste degré = puissance de 2 !
les solutions d'une équation du 4ème degré ne sont pas forcément constructibles
inversement certaines équations de degré 3 ont des solutions constructibles
(en gros si une des solutions est rationnelle, et on la ramène donc au second degré pour les deux autres)

mais on sort complètement cette fois de la question initiale. (niveau largement post bac du coup)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Carottin]

Hmmm... Voici la définition précise : "Tout nombre constructible x est racine d'un polynôme à coefficients entiers et le degré du polynôme minimal admettant x pour racine est une puissance de 2." En effet, ça ne veut pas dire que la réciproque est vraie...