Suite

[invite132a7f44]

Soit f la fonction définie sur R par: f(x) = 1/2(x+2/x)
1) a . Justifier que la fonction est derivable pour tout x de R
J'ai alors calculé la dérivée et obtenu 1/2(1-2/x²)

b. Demontrez que pour tout x de R f'(x)=[(x-V2)(x+V2)] / 2x² ça c'est fait

2) La suite Un est definie par u0= 3/2
pour tout entier naturel n, U(n+1) = f(Un)
Calculez u1 ( je trouve 17/12 ) et u2 ( j'obtient 577/408)

b. Demontrer par recurrence que pour tout n V2<U(n+1)<Un<(ou egale) 3/2 j'ai dit que d'apres le tableau de variation tous les termes de un sont supérieurs à racine de deux apres je ne sais pas comment prouver la suite.
Deduisez en que la suite Un est convergente. Je pense que la limite est racine de 2

c Deduisez en que pour tout n de N, U(n+1)-V2<1/2(Un-V2) ça j'ai réussi
d Deduisez en par recurrence que pour tout n de N , 0<Un-V2<(ou egale à) 1/2^n(u0-V2) et ici aussi je bloque
e Deduisez en lim Un

Je suis donc bloquée s'il vous plait aidez moi
Merci d'avance
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[PlaneteF]

Bonjour,

b. Demontrez que pour tout x de R f'(x)=[(x-V2)(x+V2)] / 2x² ça c'est fait

Cette écriture est fausse, il manque des parenthèses pour le dénominateur (la multiplication n'est pas prioritaire sur la division, l'inverse non plus d'ailleurs).

Cordialement

[PlaneteF]

Soit f la fonction définie sur R par: f(x) = 1/2(x+2/x)
1) a . Justifier que la fonction est derivable pour tout x de R
J'ai alors calculé la dérivée et obtenu 1/2(1-2/x²)

Tu ne voudrais pas plutôt dire ?!

Cdt

[PlaneteF]

b. Demontrer par recurrence que pour tout n V2<U(n+1)<Un<(ou egale) 3/2 j'ai dit que d'apres le tableau de variation tous les termes de un sont supérieurs à racine de deux apres je ne sais pas comment prouver la suite.

Tu ne démontres rien en disant cela, ... il faut faire un raisonnement par récurrence en bonne et due forme.

Deduisez en que la suite Un est convergente. Je pense que la limite est racine de 2

L'énoncé ne te demande pas de trouver la limite de la suite mais de démontrer qu'elle est convergente, ... ce qui est immédiat compte tenu de la relation précédente.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

L'énoncé ne te demande pas de trouver la limite de la suite mais de démontrer qu'elle est convergente, ... ce qui est immédiat compte tenu de la relation précédente.

Je pécise cela en rappelant le théorème connu suivant : "Toute suite décroissante minorée est convergente".

Cdt

[invite132a7f44]

oui j'avais oublié l'étoile pour dire privé de 0. Par contre en disant qu'elle est minorée je ne prouve pas que un+1<un<3/2. Je ne sais pas comment faire pour faire l'hérédité. Est ce que si je multiplie tout par la fonction c'est bon ? car vu qu'elle est croissante les ordres se conserveront. Et merci pour votre réponse

[PlaneteF]

Est ce que si je multiplie tout par la fonction c'est bon ? car vu qu'elle est croissante les ordres se conserveront.

Attention au vocabulaire, tu ne vas pas "multipler" par la fonction, mais "composer" (ce n'est pas du tout la même chose).

Go ahead!

Cdt

[invite132a7f44]

Ah d'accord merci et donc si je fais ça c'est la bonne démarche ?

[PlaneteF]

Ah d'accord merci et donc si je fais ça c'est la bonne démarche ?

C'est même THE démarche

[invite132a7f44]

merci beaucoup !

[invite132a7f44]

par contre pour la question d je ne vois pas comment on peut déduire grâce à la c. La c je l'ai réussi

[PlaneteF]

Bah la récurrence est évidente. Je passe l'initialisation. Pour l'hérédité :

Supposons que : (hypothèse de récurrence)

Démontrons que :

D'après la question précédente on a : --> Là dessus tu appliques l'hypothèse de récurrence et le résultat voulu est immédiat.

Cdt

[invite132a7f44]

merci je vais y réfléchir

[PlaneteF]

Et pour ce qui est de , cela a déjà été démontré dans le 2b.

Cdt

[invite132a7f44]

j'ai compris merci beaucoup pour votre aide =)

[PlaneteF]

Remarque : Dans la démonstration par récurrence, ne pas oublier de rappeler que et , ce qui permet de ne pas avoir de question sur un potentiel changement de sens des inégalités.

Cdt