Exercice sur les fonctions

[Iggy]

Bonjour à tous,

Je suis en première S et j'ai un DM à rendre avant les vacances sauf que je bloque sur un exercice. Je vous l'envoie entièrement même si je bloque seulement sur la dernière question.

"
1. Tracer la courbe C représentant la fonction racine carrée. Placer sur l'axe des abscisses deux réels a et b tels que 0 ( < ou = ) a < b.
2. Placer les points A et B de la courbe C d'abscisses a et b. Quelles sont les coordonnées de A et B ?
3. En déduire les coordonnées du milieu K de [AB]
4. a. Quelle est l'ordonnée du point de la courbe C qui a même abscisse que K ?
b. Comparer graphiquement ( racine(a) + racine(b) )/2 et racine( (a+b)/2 )
5. Démontrer le résultat ainsi conjecturé. "

Merci d'avance pour votre aide.
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Qu'est-ce qui te gêne à cette dernière question ?
Montre en effectuant la différence des deux expressions la conjecture faite à la 4b.

Duke.

[Iggy]

Bonsoir,

Et bien après plusieurs méthodes de calcul, je n'arrive pas à tomber sur un résultat convenable.

[Duke Alchemist]

Re-

Commence par la différence des deux expressions (comme je l'ai indiqué juste avant) puis multiplie par l'expression conjuguée au numérateur et au dénominateur.
C'est souvent ce qu'il faut faire quand il y a des différences de racines carrées

Tu obtiens une expression qui est un peu lourde à travailler mais cela reste jouable et cela donne une expression relativement simple pour l'étude du signe (puisque c'est ce qu'on cherche).

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Iggy]

Qu'est ce que l'expression conjuguée ?
Je ne vois pas comment on peut faire l'étude d'un signe avec ce calcul.
Merci de ton aide.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Ton expression est plus ou moins sous la forme dont l'expression conjuguée est .
Attention le A et le B ci-dessus ne sont pas ceux de l'énoncé !

 Cliquez pour afficher

dont le signe est ici relativement simple à étudier

Personnellement, je ne vois pas comment faire autrement ici. Peut-être qu'un truc m'échappe
Je te propose d'indiquer les étapes de ton calcul si jamais tu coinces.
Même si ce n'est pas la méthode attendue ici, tu verras que c'est une méthode assez fréquemment employée (notamment lors de détermination du signe d'une expression comme ici ou dans les calculs de limite de fonction).

Bon courage.
Duke.

[Iggy]

Merci beaucoup sauf que je n'y arrive toujours pas.

Il faut faire comme ça ?

racine( (a+b)/2 ) - ( racine(a) + racine(b) )/2 > 0
racine( (a+b)/2 ) - ( a-b )/( 2*(racine(a)-racine(b) > 0

Ou comme ça ?

racine( (a+b)/2 ) - ( racine(a) + racine(b) )/2 > 0
[ racine( (a+b)/2 ) - ( racine(a) + racine(b) )/2 ][racine( (a+b)/2 ) + ( racine(a) + racine(b) )/2 ] > 0

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pourquoi ce "> 0" ? Tu dois montrer que soit c'est positif, soit c'est négatif ! Pas le supposer.

L'expression de départ est la suivante :
dont l'expression conjuguée est .

Donc, en multipliant l'expression de C par le conjugué au numérateur et au dénominateur (pour multiplier par 1 et donc ne pas changer la valeur de l'expression), tu trouveras une expression, qui après simplification, avec un signe facile à étudier.

Duke.

[Iggy]

Alors je suis arrivé à un résultat qui semble exploitable, tu peux me dire si c'est ça stp.

"
C = ( 2*racine(ab) - a - b ) / ( 2*racine(2ab)+2a+2b )

0 < ( ou égale ) a < b donc le dénominateur sera toujours positif ( à détailler un peu plus )
2*racine(ab) < a + b donc le numérateur sera toujours négatif ( à détailler un peu plus )

Alors C est négatif
Donc [ ( racine(a) + racine(b) )/2 ] - [ racine( (a+b)/2 ) ] < 0
[ ( racine(a) + racine(b) )/2 ] < [ racine( (a+b)/2 ) ] "

[Duke Alchemist]

Re-

Le dénominateur est bien positif puisque somme de termes positifs.
Le numérateur peut être écrit sous une forme plus compacte qui permet de voir tout de suite qu'il est bien négatif.

Indice :

 Cliquez pour afficher

c'est l'opposé d'un carré parfait.
Comme tu me sembles bien parti, je te laisse le soin de trouver le carré en question

Cordialement,
Duke.

[Iggy]

Ça fait : - ( racine(a) - racine(b) )^2

Merci énormément Duke, je n'y serais jamais arrivé si tu n'avais pas été là

[Duke Alchemist]

Mais de rien voyons
Et puis tu as travaillé toi aussi.

J'espère que tu retiendras la méthode pour "plus tard"

A bientôt.

Cordialement,
Duke.