Vecteurs : relation de Chasles

[invitebb4d4ff8]

Bonjour tout le monde, je viens vous car je suis bloquée à un exercice sur les vecteurs de niveau de 1ère S et j'aimerai bien qu'on me donne des pistes. Je noterai d'abord l'énoncé puis ensuite mes hypothèses.
Lorsque j'écris AB ou 0, je veux dire "vecteur AB" ou "vecteur nul".
Voici l'énoncé :
On considère un triangle ABC non aplati et le point G défini par GA + GB + GC = 0
1°) Exprimer AG en fonction de AB et AC.
2°) a) On appelle I le milieu de [BC].
Montrer que A, G et I sont alignés et déterminer le nombre k tel que AG = k AI
b) Quelle propriété vient-on de prouver pour le point G ?

Voici mes hypothèses, j'en ai plusieurs car j'ai essayé un peu tout ... :
1°) GA + GB + GC = 0
GA + GA + AB + CA + AC =0
-3AG + AB + AC = 0
AB + AC = 3AG
AB/3 + AC/3 = AG
Sur cette première question, je pense avoir juste, le résultat me semble cohérent.

2°) Je n'arrive vraiment pas à cette 2 ème question, je vais donc soumettre plusieurs hypothèses.
a) AG = 0
AI + IG =0
AI = GI
Cette hypothèse est complètement absurde, vu que AG n'est pas nul, mais je la note quand même.

GI =0
GA + AI = 0
-AG + AI = 0
AG = AI
Même début que ma première hypothèse, je suis partie avec un vecteur nul alors que ce n'est pas le cas, mais le résultat colle avec la question (AG = k AI) donc je l'ai notée elle-aussi.

Et voici ma dernière hypothèse, qui me semble la plus correcte, mais je bloque.
AA = 0
AG + GA =0
AI + IG + GA =0
AG + GI + IG + GA =0
Et là je suis bloqué car les lettre G et I s'annulent et on retombent sur AA = 0

Merci d'avance pour votre aide
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Je comprend pas pourquoi tu pars pas simplement de l'hypothese que l'on te donne, à savoir I est le milieu de BC, tu as donc IB+IC=0.
En utilisant la question precedente, tu t'en sors.

[invite951f2fde]

Personnellement je ne partirai pas dans ce sens.
Pourquoi ne pas simplement démontrer que AG est colinéaire à AI et donc les points A,G et I sont alignés ?
Tu décomposes AI en fonction de AB et AC et tu trouves donc après le coefficient de colinéarité.

[invitebb4d4ff8]

Bonjour,
Je comprend pas pourquoi tu pars pas simplement de l'hypothese que l'on te donne, à savoir I est le milieu de BC, tu as donc IB+IC=0.
En utilisant la question precedente, tu t'en sors.

Mais je ne comprend pas, dans ce cas j'obtiens ceci non ?
IB + IC =0
IG + GB + IA + AC =0
Et la je ne sais pas quoi faire des points B et C ... :/
Désolé je suis vraiment nulle ...

Personnellement je ne partirai pas dans ce sens.
Pourquoi ne pas simplement démontrer que AG est colinéaire à AI et donc les points A,G et I sont alignés ?
Tu décomposes AI en fonction de AB et AC et tu trouves donc après le coefficient de colinéarité.

Dans la question a), il faut déterminer le nombre k tel que AG = k AI, le problème c'est que je n'arrive pas à garder uniquement AG et AI. Dans l'équation j'ai alors un GI et je ne sais pas quoi en faire et si j'utilise Chasles pour remplacer GI par d'autres vecteurs, ces vecteurs annulent AG ou AI ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite951f2fde]

Justement, si tu veux AG = k AI tu dois juste décomposer AI en fonction de AB et AC.

On sait déjà que AG = 1/3 AB + 1/3 AC ( on utilise 1/3 car les vecteurs ne se divisent pas (; )
Si tu trouve AI = ... AB + ... AC tu trouveras le coefficient directeur qui n'est pas très compliqué à trouver.

Reprends à zéro sur ce que tu sais de AI en égalité vectorielle et tu devrais y arriver.

[invite47ecce17]

Tu as IB+IC=0, ajoute 2AI, tu trouves AI+IB+AI+IC=2AI=AB+AC... et tu as fini.