exercice de logique

[MAROMED]

Bonsoir;

comment montrer que que si x et y de [1;+oo[

( xy=1 ) <=> (x=1 et y=1)

Merci de m'éclairer si vous avez une idée ou une réponse et je vous remercier par avance.

cordialement.
-----

[pallas]

Voir la courbe
representative de y=1/x
Si x>=1 alors xy=1 soit y=1/x <=1 et l'égalité n'a lieu que ......

[gg0]

Pourquoi appeler ça "exercice de logique" ???

[MAROMED]

seulement parce-que l'exercice dans un cours de logique niveau lycée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MAROMED]

est ce que cette démonstration est correct ??
pour montrer que ( xy=1 ) <=> (x=1 et y=1) on va montrer que ( xy=1 ) => (x=1 et y=1) et (x=1 et y=1) => ( xy=1 )

donc pour (x=1 et y=1) => ( xy=1 )
ona (x=1 et y=1) => xy =1*1=1.
donc
(x=1 et y=1) => ( xy=1 ) (1) est vérifier.


pour ( xy=1 ) => (x=1 et y=1)

si x=1 alors xy=1y=1 => donc ( xy=1 ) => (x=1 et y=1) est vérifier
si non si x#1 alors xy=1 => y=1/x et puisque x de [1;+oo[ alors y=1/x <0 et c'est contradictoire car y de [1;+oo[.
donc x=1 et y=1
donc ( xy=1 ) => (x=1 et y=1). (2)
conclusion ( xy=1 ) <=> (x=1 et y=1)

[gg0]

"puisque x de [1;+oo[ alors y=1/x <0 " est faux !

En fait, il y a 2 cas : x=1 et x>1 tu as traité le premier. Pour le deuxième, comme par définition y>=1, alors si x>1, xy ....

Cordialement.

[MAROMED]

"puisque x de [1;+oo[ alors y=1/x <0 " est faux !

En fait, il y a 2 cas : x=1 et x>1 tu as traité le premier. Pour le deuxième, comme par définition y>=1, alors si x>1, xy ....

Cordialement.

pour ( xy=1 ) => (x=1 et y=1)

si x=1 alors xy=1*y=1 => donc ( xy=1 ) => (x=1 et y=1) est vérifier
si non si x>1 alors xy=1 => y=1/x <0 et c'est contradictoire car y de [1;+oo[.
donc x=1 et y=1
donc ( xy=1 ) => (x=1 et y=1). (2)
conclusion ( xy=1 ) <=> (x=1 et y=1)

[PlaneteF]

Bonsoir,

si x>1 alors xy=1 => y=1/x <0

Non, ce raisonnement est faux.

Cordialement

[MAROMED]

pardon .
si x>1 alors xy=1 => y=1/x <1

Cordialement

[PlaneteF]

Et donc ...

Cdt

[MAROMED]

et donc c'est contradictoire car y de [1;+oo[.
donc x=1 et y=1
donc ( xy=1 ) => (x=1 et y=1). (2)
conclusion ( xy=1 ) <=> (x=1 et y=1)
cdt

[PlaneteF]

et donc c'est contradictoire car y de [1;+oo[.

Oui.

Une autre façon de procéder qui est un peu plus longue mais que je trouve plutôt "élégante" :

Puisque et appartiennent à , alors on peut écrire et avec et positifs.

Il vient alors :

On en déduit :

Les 3 termes de cette somme sont bien évidemment positifs, or "la somme de nombres positifs est nulle si et seulement si tous ces nombres sont nuls".

Conclusion : et donc


Cdt

[MAROMED]

oui c pa longue Je vous remercie infiniment PlaneteF ; gg0 et pallas
Cdt