Problème d'arithmétique , numération

[MarieBx]

Bonjour à tous ,
j'ai un soucis avec la deuxième question de l'exercice suivant :

1) Dans un système de base x>2 , avec x appartenant à N , montrer que (x-1)² et 2(x-1) s'écrivent avec les mêmes chiffres
pour celle ci j'ai dit que:

(x-1)²<x² or x²= 100 en base x
donc (x-1)² possède au maximum 2 chiffres
de plus (x-1)²= (x-2)x+ 1 donc ( avec justification ) : (x-1)² vaut (x-2)1 en base x
et si on calcule : 1(x-2) en base x on obtient 2(x-1) ainsi la première question est résolue

2) Dans un système de base x>3 ,montrer que (x-1)³ et (x+2)(x-1)² s'écrivent avec les mêmes chiffres et là je suis bloquée , j'essaie de faire le lien avec la question 1 comme quoi (x-1)³=(x-1)(x-1)² ou alors en partant de l'autre formule . En sachant qu'il possèdera au maximum 3 chiffres , je n'arrive pas à résoudre cette question ...
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[Médiat]

Bonjour,

(x-1)³ = x³ - 3x² +3x - 1 = (x-3)x² + ...

Je vous laisse remplir les ...

[MarieBx]

alors c'est ce que j'avais commencé mais je ne vois pas trop quoi en faire

(x-1)³=(x-3)x²+3(x-1) +2

c'est le fait qu'il y ait (x-1) qui me dérange ...

[Médiat]

(x-1)³= x³ - 3x² +3x - 1 = (x-3)x²+ax + b

Avec a et b dans [0, x[

[A voir en vidéo sur Futura]

[MarieBx]

heu j'ai une autre factorisation mais je suis pas très sure
(x-3)x² + (3-(1/x))x +0
or x>3 donc 3-(1/x)>0

[Médiat]

: comment 1/x pourrait-il être un chiffre (de la base x) ?

Dans 3x - 1, ce qui ne va pas c'est le -1 qui n'est pas dans [0, x[, que pouvez-vous envisager comme opération pour faire apparaître une valeur forcément positive (et plus petite que x) ?

[MarieBx]

houlà oui je n'y avais pas pensé -.-'

on peut faire 2x +(x-1) !!
Du coup (x-1)³ s'écrit en base x : (x-3)2(x-1)

et si on calcule : (x-1)(x-3)2 en base x , on a : x³-x²+x²-3x+2=x³-3x+2
or (x+2)(x-1)²=(x+2)(x-2)x+x+2=(x²-4)x+x+2= x³-3x+2
on trouve la même chose donc question résolue
C'est cool ! Merci beaucoup