Limites de suites.

[invitee290a5e0]

Bonjour,
notre prof nous a donné cet exercice mais je suis bloqué à la 2e partie et je ne vois pas comment faire.

Quelque soit n appartenant à N, on a Un=sin(π(2-sqrt(3))^n)
et Vn=sin(π(2-sqrt(3))^n)
1) Déterminer la limite de (Un) si existence.
2)Conjecturer un lien entre (Un) et (Vn) puis démontrez le.
Déduisez-en la limite de (Vn) si existence.

1) Après plusieurs inégalités on trouve que 2-sqrt(3) est compris en 1et-1 strictement, donc la limite en +l'infini de Un=0 (sur ma copie j'ai fait une meilleur justification )
2) Après plusieurs calculs, on conjecture que pour tout n différent de 0 alors Un=-Vn donc la limite de (Vn) en moins l'infini sera 0, mais il faut prouver que Un=-Vn, ce que je n'arrive pas à faire.
Je sais qu'il faut trouver sin(π(2-sqrt(3))^n)=sin(-π(2-sqrt(3))^n +2kπ) /k appartenant à Z mais je ne vois pas du tout comment faire.

Pouvez-vous m'aider svp ?

Cdt
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[invite184b87fd]

bonsoir

Je ne vois aucunes différences dans ton énoncé entre les suites (Un) et (Vn) .
Donc si Un = Vn je ne vois pas grand intérêt à moins que je vois pas la différence

Cordialement

[invitee290a5e0]

Effectivement je me suis trompé Vn=sin(π(2+sqrt(3))^n)

Cdt

[gg0]

Bonsoir.

En utilisant la formule du binôme, on voit que où a_n est un entier pair. On en déduit
Et en passant aux sinus que V_n=-U_n.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee290a5e0]

Bonsoir gg0,
J'utilise la formule du binôme mais à partir de là je ne vois pas où on peut déduire que la somme des deux binôme est pair, du coup je pense que pour le justifier, il faut développer chaque binôme avec les sommes partie entière. Les deux sommes parties entières de (n-1)/2 se simplifient, il reste 2 fois la même somme, celle pour k allant de 0 à partie entière de n/2, on appelle cette somme K avec K appartenant à Z et on trouve que π(2-sqrt(3))^n=π(2+sqrt(3))^n +2Kπ.
Ce qui revient à ce que tu as dit, merci à toi.
P-Seux tu me donner un lien expliquant comment écrire sur ce forum avec les signes mathématiques comme dans ton message stp?

Cdt.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu peux regarder ici : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Cordialement

[invitee290a5e0]

Merci beaucoup

[gg0]

Dans le développement des deux sommes, les termes en racine de 3 de degré impair se simplifient. les autres donnent des entiers, et ont tous un facteur 2^k avec k>0, donc sont tous pairs.

Bonne continuation !