Limites de suites

[Flof54]

Bonjour,
J'ai quelques difficultés pour répondre à cette exercice :

DM.jpg

Voici ma réponse :

DM.jpg

Je ne suis pas sûr de mes réponses. Pourriez vous me faire part de votre avis ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

La deuxième question veut te faire redémontrer le théorème que tu cites. Il te suffit d'utiliser la première question en additionnant pour le faire.

Cordialement.

[Flof54]

D'accord mais la première question de semble juste ?

[Flof54]

Et que dois-je additionner ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu peux additionner membre à membre les 2 inégalités de la question 1).

Mais attention, la première inégalité est vraie à partir du rang n₁​, et la deuxième à partir du rang n₂.

Donc, avant de pouvoir faire cette addition, il faut que tu donnes un rang à partir duquel ces 2 inégalités sont vérifiées.


Cordialement

[Flof54]

Voilà j'ai additionné membre à membre les 2 inégalités du 1) :

l-a/2+l'-a/2 < Un+Vn < l+a/2+l'+a/2

l+l' < Un+Vn < l+l'

Et donc maintenant je dois trouver un rang où ces deux inégalités sont vérifiées c'est bien ça ?

[PlaneteF]

l+l' < Un+Vn < l+l'

Non, ... Refais avec attention l'addition en question.

Et donc maintenant je dois trouver un rang où ces deux inégalités sont vérifiées c'est bien ça ?

Non, pas maintenant, mais en premier lieu ! ... Car pour pouvoir écrire les 2 inégalités il faut bien exhiber un rang à partir duquel ces 2 inégalités sont toutes les 2 vérifiées, sinon tu ne peux pas effectuer cette addition !


Cdt

[Flof54]

Je comprends ce que tu dis mais je ne sais pas trop comment exhiber ce fameux rang.

[PlaneteF]

Prenons un exemple : Si une 1ère "chose" est vraie à partir du rang 15, et une 2e "chose" est vraie à partir du rang 47.

Quel rang peux-tu exhiber (un rang parmi une infinité, mais un seul suffira), de sorte que ces 2 "choses" soient toujours vraies à partir de ce rang ?

[Flof54]

Y-a-t-il une histoire récurrence ?

[PlaneteF]

Y-a-t-il une histoire récurrence ?

Absolument pas, ... répond simplement à ma question précédente !

[Flof54]

Si une 1ère "chose" est vraie à partir du rang 15, et une 2e "chose" est vraie à partir du rang 47, alors la 1ère chose et la 2e chose sont vraies à partir du rang 47. C'est ça ?

[PlaneteF]

Si une 1ère "chose" est vraie à partir du rang 15, et une 2e "chose" est vraie à partir du rang 47, alors la 1ère chose et la 2e chose sont vraies à partir du rang 47. C'est ça ?

Tu es sûr à 100% qu'elles sont toutes les 2 vraies à partir du rang 47, mais aussi à partir du rang 1486 ou encore du rang 42315678953 . Avant le rang 47, on ne peut pas conclure avec cette seule information.

Donc le rang 47 convient, par exemple, ... mais ce n'est pas le seul !

[Flof54]

D'accord. Revenons maintenant à l'exercice. Puisque l'inégalité concernant Un est vraie au rang 1 et que l'inégalité concernant Vn est vraie au rang 2, il suffirait donc maintenant d'additionner membre à membre les deux inégalités ?

[PlaneteF]

D'accord. Revenons maintenant à l'exercice. Puisque l'inégalité concernant Un est vraie au rang 1 et que l'inégalité concernant Vn est vraie au rang 2, il suffirait donc maintenant d'additionner membre à membre les deux inégalités ?

Oui mais il faut que tu donnes un rang à partir duquel tu as le droit de le faire !

[Flof54]

Ah oui c'est vrai, les deux inégalités sont vérifiées à partir du rang n2

[PlaneteF]

Ah oui c'est vrai, les deux inégalités sont vérifiées à partir du rang n2

Non, pas dans tous les cas, ... si l'on a par exemple , tu ne peux pas conclure.

[Flof54]

Donc les deux inégalités sont vérifiées à partir d'un rang supérieur à n1 et à n2 ?

[PlaneteF]

Donc les deux inégalités sont vérifiées à partir d'un rang supérieur à n1 et à n2 ?

Donc par exemple le rang convient (mais il y en a une infinité d'autres qui conviennent, l'important c'est d'en exhiber un qui soit suffisant).

[Flof54]

Donc maintenant :
l-a/2+l'-a/2 < Un+Vn < l+a/2+l'+a/2

l+l'-a < Un+Vn < l+l'+a

[PlaneteF]

Plus précisément :

Tout intervalle de la forme , avec , contient tous les termes de la suite à partir de .

Conclusion.

[Flof54]

Cela suffit pour démontrer que (Un+Vn) tend vers l+l' ?

[PlaneteF]

Cela suffit pour démontrer que (Un+Vn) tend vers l+l' ?

Ben oui, ... c'est la définition^(*) même de la limite d'une suite !!!

^(*) du moins une de ses formes

[Flof54]

Voici ma réponse complète :