Limites des suites

[invite2bd8c5db]

Bonjour à tous et à toutes. Enfaite, je ne viens pas ici pour faire un éxercice, mais simplement pour en comprendre un. Je vous l'écris :


Pour n--> +L'infinis

Un = (n+Racine n Sin n)
---------------------
n+cos n

n+Racine n Sin n
-------------------
n
= ---------------------
n+ Cos n
------------
n
1 + (Sin n/Racine n)
=-----------------------
1+ (Cos n/n)
Lim Un = 1

Voila. Je ne comprend pas pourquoi, et d'ou on sort le n qu'on met en dénominateur. Et pourquoi est ce qu'après ca devient un 1. Merci de m'aider...?
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Quand on divise à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un nombre, ça ne change pas la valeur de la fraction. Ici on a simplement divisé numérateur et dénominateur par :

Ensuite pour trouver la valeur de la limite il faut d'abord calculer et . On peut le faire en utilisant le théorème des gendarmes par exemple.

[invite2bd8c5db]

D'accord, enfaite nous avons juste mis un dénominateur commun afin d'utiliser le théorème des gendarmes? Quand pouvons-nous utiliser cette méthode?
En tout cas, merci, je ne comprenais vraiment pas la correction, le professeur n'a pas écrit le théorème des gendarmes et est directement passé au résultat!...

[Flyingsquirrel]

D'accord, enfaite nous avons juste mis un dénominateur commun afin d'utiliser le théorème des gendarmes?

Oui. Une autre manière de voir les choses : on factorise numérateur et dénominateur par le terme prépondérant. Dans les deux cas il s'agit de et l'on a

Quand pouvons-nous utiliser cette méthode?

Tout le temps...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bd8c5db]

D'accord, une dernière question. J'ai compris la première étape, mais pourquoi n+Racine de n au numérateur, et n au dénominateur disparaissent, pour laisser un 1 au numérateur et au dénominateur? Car au dénominateur, n/n = 1, et au numérateur car racine n/n = 0 et n/n = 1? (Comme j'ai controle demain, je demande bien si j'ai tout compris, on sait jamais...)

[Flyingsquirrel]

au numérateur car racine n/n = 0

Sûr(e) ? Ça ne ferait pas plutôt ? Ceci dit je suis d'accord avec le reste, c'est bien parce que que des 1 « apparaissent ».

[invite2bd8c5db]

Tout à fait d'accord, justement je me demandais, parce qu'avec ce que je disais (soit avec le 0), on aurait multiplé le Sin n * 0, et on aurait trouvé quelque chose de totalement différent. Or, avec 1/Racine n, c'est éxactement ca. Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer, c'est sympa ^^