Multiplication de 3 réels d'un intervalle donné avec condition

[inviteec59df77]

Bonjour, je suis tombé lors d'un exercice sur un truc que j'arrive pas du tout.On a a+b+c=1 avec a, b et c des réels supérieurs à 0. Faut trouver la valeur maximale du produit abc.
Après quelques secondes de recherches, il m'est venu naturellement que le résultat était atteint pour a=b=c=1/3 et donc abc=1/27. Cependant, ce résultat peut il se démontrer ?
Merci d'avance pour votre aide !
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[invite332de63a]

Bonjour,

tu peux fixer a par exemple, on le prendra différent de 0 et de 1 car sinon l'étude est directe, le produit valant 0 et ça nous évitera des erreurs par la suite. Ensuite tu considère que b est ta variable, b évoluant dans [0;1-a] et c=1-a-b. Ainsi tu as un fonction dérivable qui donne . On remarque que le coefficiant de est -a négatif donc admet un maximum lorsque s'annule. Donc lorsque . Ainsi on a que pour a fixé, la valeur maximale prise par est donnée par et . On remarque que b=c. Ainsi

On pose alors que l'on peut étudier en la dérivant . On résout alors donc ou mieux , qui a deux solutions et . On en déduit simplement que correspond au maximum du produit alors que entraîne un produit nul.

RoBeRTo

[inviteec59df77]

Merci de ta réponse ! Je suis tombé sur ça dans un exo de concours général et je savais pas trop comment faire. Du coup j'ai regardé que le début de ta réponse et je vais essayer de réussir en partant de là. Encore merci, il s'agissait de ma première demande d'aide (et premier message tout court) et vous y avez répondu très rapidement.