Les suites

[MAROMED]

Bonsoir.
j'ai un exercice sur les suites

déterminer pour tout n de N. tel que :



montrer que tout n de N

j'ai essayer de redémontrer par récurrence.

pour n=0 ona vraie pour n =0
supposons que c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n
et montrons que .
on a
puisque
et
donc .
c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n+1
donc .

est ce que la démonstration et fausse ?
et si vous avez une solution ou des idées Pouvez vous m'aider à résoudre ce problème.
Merci d'avance
Cordialement.
-----

[shezone]

Bonsoir Maromed,

Ta récurrence est fausse pour la simple raison que tu te trompes sur ce que tu dois démontrer .
Tu supposes que U(n) =n , tu dois donc démontrer que U(n+1) = n + 1 !

Pour cela tu pars de U(n+2) = 2U(n+1) - U(n)
(tu peux supposer ta propriété vraie pour n+1 et la démontrer pour n+2)

cdt

[MAROMED]

ah bon merci j'ai pas remarquer

[MAROMED]

mais comment je doit démontrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[shezone]

tu peux essayer de faire comme précédemment mais en remplaçant par de bonnes hypothèses de récurrence , c'est à dire U(n) = n U(n+1) = n+1
et tu dois trouver U(n+2) = n+2

cdt

[MAROMED]

comme ça ?
pour n=0 ona vraie pour n =0
supposons que c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n
et montrons que .
on a
puisque
et
donc .
c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n+1
donc .
Cordialement.

[shezone]

Tu arrives au bon résultat mais U(n-1) = n-1 !
et tu dois montrer que U(n+1) = n+1 (tu dis encore au départ que tu vas démontrer que U(n+1) = n)

cdt

[MAROMED]

Tu arrives au bon résultat mais U(n-1) = n-1 !
et tu dois montrer que U(n+1) = n+1 (tu dis encore au départ que tu vas démontrer que U(n+1) = n)

cdt

mais est ce que vous êtes sur que la démonstration n'est pas fausse ??

[shezone]

Tu pars de U(n) = n et U(n-1) = n-1

Tu as alors que u(n+1) = 2U(n) - U(n-1) = 2n - (n+1) = n+1 (et c'est ce que tu dois prouver ici !!! )
donc la récurrence est faîte.

cdt

[MAROMED]

ok shezone mercii bcp

[PlaneteF]

Bonsoir,

@MAROMED,

Je trouve que ta rédaction manque de précision ... Quelle type de récurrence fais-tu ? ... Une récurrence simple ? double ? forte ?

Si c'est une récurrence double, alors il faut montrer et , puis supposer et pour démontrer .


Si c'est une récurrence forte, ce qui semble être ce que tu fais, alors écrire ceci :

supposons que c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n

n'est pas suffisamment clair.

Ce qu'il faut supposer c'est par exemple : , puis montrer alors .


Cordialement

[MAROMED]

Bonsoir,

@MAROMED,

Je trouve que ta rédaction manque de précision ... Quelle type de récurrence fais-tu ? ... Une récurrence simple ? double ? forte ?

Si c'est une récurrence double, alors il faut montrer et , puis supposer et pour démontrer .


Si c'est une récurrence forte, ce qui semble être ce que tu fais, alors écrire ceci :



n'est pas suffisamment clair.

Ce qu'il faut supposer c'est par exemple : , puis montrer alors .


Cordialement

donc je doit juste écrire et démontrer par la méthode que j'ai fait.

[PlaneteF]

donc je doit juste écrire et démontrer par la méthode que j'ai fait.

Oui en précisant bien, supposons que .

D'ailleurs pour ce type de récurrence je pense que l'on va plutôt utiliser une récurrence double que forte (même si au finish cela revient au même).

Pour une récurrence double, tu montres que la propriété est vraie au rang et au rang .

Ensuite, soit . Supposons la propriété vraie au rang et au rang , c'est-à-dire supposons que et que . Montrons alors que . Et tu fais ta démonstration.

Je pense qu'il est important dans ta rédaction de bien préciser quel type de récurrence tu fais (pour une récurrence simple généralement on ne le précise pas, mais pour un autre type de récurrence c'est mieux de le faire).

Cdt

[Médiat]

Je pense qu'il est important dans ta rédaction de bien préciser quel type de récurrence tu fais (pour une récurrence simple généralement on ne le précise pas, mais pour un autre type de récurrence c'est mieux de le faire).

Bonjour,
Sachant que toute récurrence "double" ou "forte", est en fait une récurrence "simple"

[PlaneteF]

Sachant que toute récurrence "double" ou "forte", est en fait une récurrence "simple"

Bonjour Médiat,

Oui tout à fait, c'est effectivement intéressant de le préciser, ... et par exemple une récurrence double appliquée à , fondamentalement, se fait par application d'une récurrence simple à . En revanche pour ce qui est de la rédaction de la démonstration, la présentation et articulation n'est pas exactement la même d'un type de récurrence à un autre, d'où l'intérêt d'être explicite sur le choix du type de récurrence.

Cordialement

[MAROMED]

Bonsoir.


une autre essaye .

pour n=0 ona vraie pour n =0
pour n=1 ona vraie pour n =1
supposons que et c.à.d la proposition est vrai pour n et pour n+1
et montrons que .
on a
puisque
et
donc .
c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n+2
d’après le principe de récurrence
on a donc
et .

est ce que c'est ça la solution ?
Merci
Cordialement.

[PlaneteF]

pour n=0 ona vraie pour n =0

(...)

Démarre ta démonstration en précisant bien que tu fais une récurrence double (j'insiste !)

c.à.d la proposition est vrai jusqu’à n+2

Non, ce que tu viens de démontrer à ce stade c'est que la propriété est vraie au rang , si l'on suppose au préalable qu'elle est vraie aux rangs et (ce qui n'est pas la même chose que ce que tu viens d'écrire).

d’après le principe de récurrence
on a donc
et .

Non, pour être précis dans la rédaction, d'après le raisonnement par récurrence double tu en conclus que


Cordialement

[MAROMED]

Bonsoir.


la 3eme essaye .
on va démontrer par la récurrence double que
pour n=0 ona vraie pour n =0
pour n=1 ona vraie pour n =1
supposons que et c.à.d la proposition est vrai pour n et pour n+1
et montrons que .
on a
puisque
et
donc .
c.à.d la propriété est vraie au rang n+2
d’après le récurrence double
on a donc
et .

est ce que c'est ça la solution ?
Merci
Cordialement

[PlaneteF]

on va démontrer par la récurrence double que

Plus précisément, par une récurrence double, démontrons que :

supposons que et c.à.d la proposition est vrai pour n et pour n+1

Ecris juste avant : Soit .

d’après le récurrence double
on a donc
et .

Non, pas exactement, le raisonnement par récurrence double te permet de conclure que :


Cdt

[MAROMED]

je vous remercie infiniment pour votre soutien
Cdt

[PlaneteF]

Non, pas exactement, le raisonnement par récurrence double te permet de conclure que :

Pour compléter cette remarque, d'un point de vue plus formel voilà exactement ce qu'énonce le raisonnement par récurrence double :



Cdt

[Médiat]

Bonjour,

Et pour faire suite à ma remarque précédente, en posant , cette formule devient :



Qui est bien la définition de la récurrence "simple".

[gg0]

Et Maromed appliquait en fait correctement la récurrence simple à la conjonction des deux propriétés.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Et Maromed appliquait en fait correctement la récurrence simple à la conjonction des deux propriétés.

Oui, ... mais tous les échanges précédents portaient depuis le début sur la précision de la rédaction, d'où les différentes indications sur plusieurs façons de donner un cadre à la démonstration.

Cordialement