Bonjour,
Je suis en terminale S et je vous écris car je n'arrive pas à faire les questions 3,4,5 et 6 de mon exercice de dm de maths .. Bien que j'ai déjà quelques éléments de réponses mais ils sont soit incomplets soit faux .. Donc j'aurai vraiment besoin d'aide s'il vous plait !
Voici le sujet :
On considère la fonction h définie sur R par h(x) = (e^x-1)/(e^x-x)
1. Déduire de l'inéquation 1+x <(ou égal) e^x que h est bien définie sur R
2. Déterminer les limites de h en +INFINI et en -INFINI;
3. Monter que pour tout x appartenant à (0;1), h(x) appartient à (0;1) Ici les parenthèses sont des crochets pour 0;1
4. Monter que pour tout x appartenant à (0;1), on a : h(x)-x = ( (1-x) g(x) ) / (e^x -x)
5. on considère la suite (Vn)n>(ou égal)0 définies par : V0 = 1/2 et Vn+1 = h(Vn)
Monter que pour tout entier n on a : 1/2 <(ou égal) Vn <(ou égal) Vn+1 <(ou égal) 1
6. En déduire que la suite Vn est convergente vers une limite l, que cette limite vérifie h(l) = l et donc finalement en déduire la valeur de l.
Voilà ce que j'ai trouvé
1.h(x) = e^x-1 / e^x-x
1+x < = e^x
1 < = e^x-x
Donc dénominateur toujours supérieur à 1, ne passe donc jamais par 0 donc défi sur R;
2. h(x) = (e^x-1) / (e^x -x)
=> (e^x (1- (1/e^x) ) ) / (e^x (1- (x/e^x) ) )
=> (1- (1/e^x) ) / (1- (x/e^x) )
Lim(x->+INF) 1/e^x = 0
Lim(x->+INF) x/e^x = 0
Donc Lim(x->+INF) h(x) = 1
h(x) = (e^x-1) / (e^x-x)
Lim(x->-INF) e^x-1 = -1
Lim(x->-INF) e^x-x = +INF
Donc Lim(x->-INF) h(x) = 0
3.Pour cette question je ne suis vraiment pas sûre de ce que j'ai fais ..
h(x)' = u'v-uv' / v^2
u= e^x-1
v = e^x-x
u' = e^x
v' = e^x-1
h(x)' = (e^x(e^x-x)-(e^x-1)(e^x-x)) / (e^x-x)^2
=>((e^x)^2-xe^x-(e^x)^2-2e^x(x-1)+(-1)^2) / (e^x-x)^2
=>((e^x)^2-xe^x-(e^x)^2+2e^x+1) / (e^x-x)^2
=>(e^2x-xe^x-e^2x+2e^x+1) /(e^x-x)^2
=>(-xe^x+2e^x+1) / (e^x-x)^2
Tableau de variations
x......./..........-INFINI........................ ......+INFINI
-----------------------------------------------------------------
h'(x)../.............................. ..-
-------------------------------------------------------------------
h(x).../...........0.......(flèche vers le bas)............1
Donc x appartient à (0;1), h(x) appartient à (0;1)
4. Premièrement je m'occupe de h(x)-x
h(x)-x = x(e^x-1) / (e^x-x) ) -x
=> ((e^x-1)/(e^x-x)) - ((x(e^x-x)) / (e^x-x))
=> (e^x-1-x(e^x-x)) / (e^x-x)
=> (e^x-1-(xe^x-x^2)) / e^x-x
=> (e^x-1-xe^x+x^2) / e^x-x
Puis je m'occupe de ((1-x)g(x)) / e^x-x
((1-x)g(x)) / e^x-x
=>((1-x)(e^x-1-x)) / e^x-x
=>(e^x-1-x-(xe^x-x-x^2)) / e^x-x
=>(e^x-1-x-xe^x+x+x^2) / e^x-x
=>(e^x-1-xe^x+x^2) / e^x-x
Donc comme h(x)-x = (e^x-1-xe^x+x^2) / e^x-x
alors h(x)-x = ((1-x)g(x)) / e^x-x
6. 1/2 < = Vn < = 1
Donc croissante et majorée par 1 -> convergente vers l tel que h(l) = l donc l=1 car 'est la limite.
pas sûre du tout de cette question
Voila je vous remercie d'avance pour votre aide !
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