Bonjour,
je vous écris car je n'arrive pas à faire les questions 2,3,4 et 5 (bien que j'ai déjà quelques éléments de réponse mais qui sont soit incomplets soit faux ...) de cet exercice de mon dm et que j'aurai vraiment besoin d'aide s'il vous plait !
voici le sujet
On considère la suite (Un)n>(sup ou égal)1 définie par : Un = (1+(1/n))^n
1. Soit g la fonction définie par : g(x) =e^x-1-x
Etudier les variations de la fonction g et en déduire que pour tout réel x, on a l'inégalité suivante : 1=x <(ou égal) e^x --> (A)
2. En déduire que pour tout réel x < 1, on a :
e^x <(ou égal) 1/1-x --> (B)
3. Déduire des inégalités (A) et (B) à l'aide de deux changements de variables, l'encadrement suivant pour tout entier naturel n non nul :
(1+(1/n))^n <(ou égal) e <(ou égal) (1+(1/n))^n+1
Indication : (A) permet d'obtenir l'inégalité de gauche et (B) celle de droite.
4. En déduire que pour tout entier naturel non nul n on a : 0 <(ou égal) e-Un <(ou égal) e/n
5. En déduire que la suite (Un) converge et donner sa limite.
Ce que j'ai trouvé :
1.g(x) = e^x-1-x
g(x)' = e^x-1
e^x-1 = 0
e^x = 1
x = 0
le tableau de variations :
x......./...............-INFINI.....................0.. .............+INFINI
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g'(x)../....................-........................./.....................+
-------------------------------------------------------------------------------------
g(x).../..+INF..(flèche vers le bas)........0.....(flèche vers le haut) +INFINI
Lim(x->-INF) e^x = 0
Lim(x->-INF) -1 = -1
Lim(x->-INF) -x = +INF
=> Lim (x->-INF) g(x) =+INFINI
Lim(x->+INF) e^x = +INF
Lim(x->+INF) -1 = -1
Lim(x->+INF) -x = -INF
=> Lim(x->+INF) g(x) = FI
Lim(x->+INF) x((e^x/x)-(1/x)-1) = +INF
Le tableau montre que e^x-1-x >(ou égal) 0
=> e^x >(ou égal) 1+x
CETTE QUESTION EST JUSTE
2. 1+X <(ou égal) e^x
=> 1-x <(ou égal) e^-x
=> 1-x <(ou égal) (1/e^x)
=> (1/1-x) >(ou égal) e^x
CETTE QUESTION EST SÛREMENT FAUSSE, j'aurai besoin d'aide pour les quatre suivantes ..
3.Pour cette question il faut traiter à part (1+(1/n))^n <(ou égal) e --> Réussi
et dans un autre temps e <(ou égal) (1+(1/n))^n+1 --> Celui-ci je n'ai pas réussi
1+x <(ou égal) e^x x = 1/n
1+(1/n) <(ou égal) e^(1/n)
(1+(1/n))^n <(ou égal) (e^(1/n)^n)
(1 + (1/n))^n <(ou égal) (e^(1/n*n))
(1+(1/n))^n <(ou égal) e^1
(1+(1/n))^n <(ou égal) e
QUESTION À DEMI FAITE
4.Pas réussie
5. Pas réussie non plus ..
Voilà, merci de bien vouloir éclairer ma lanterne
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Envoyé par horaciochat 
