DM de maths sur fonctions exponentielles et suites

[horaciochat]

Bonjour,
je vous écris car je n'arrive pas à faire les questions 2,3,4 et 5 (bien que j'ai déjà quelques éléments de réponse mais qui sont soit incomplets soit faux ...) de cet exercice de mon dm et que j'aurai vraiment besoin d'aide s'il vous plait !
voici le sujet

On considère la suite (Un)n>(sup ou égal)1 définie par : Un = (1+(1/n))^n
1. Soit g la fonction définie par : g(x) =e^x-1-x
Etudier les variations de la fonction g et en déduire que pour tout réel x, on a l'inégalité suivante : 1=x <(ou égal) e^x --> (A)

2. En déduire que pour tout réel x < 1, on a :
e^x <(ou égal) 1/1-x --> (B)

3. Déduire des inégalités (A) et (B) à l'aide de deux changements de variables, l'encadrement suivant pour tout entier naturel n non nul :
(1+(1/n))^n <(ou égal) e <(ou égal) (1+(1/n))^n+1

Indication : (A) permet d'obtenir l'inégalité de gauche et (B) celle de droite.


4. En déduire que pour tout entier naturel non nul n on a : 0 <(ou égal) e-Un <(ou égal) e/n

5. En déduire que la suite (Un) converge et donner sa limite.



Ce que j'ai trouvé :

1.g(x) = e^x-1-x
g(x)' = e^x-1
e^x-1 = 0
e^x = 1
x = 0


le tableau de variations :

x......./...............-INFINI.....................0.. .............+INFINI
-------------------------------------------------------------------------------------
g'(x)../....................-........................./.....................+
-------------------------------------------------------------------------------------
g(x).../..+INF..(flèche vers le bas)........0.....(flèche vers le haut) +INFINI


Lim(x->-INF) e^x = 0
Lim(x->-INF) -1 = -1
Lim(x->-INF) -x = +INF
=> Lim (x->-INF) g(x) =+INFINI

Lim(x->+INF) e^x = +INF
Lim(x->+INF) -1 = -1
Lim(x->+INF) -x = -INF
=> Lim(x->+INF) g(x) = FI
Lim(x->+INF) x((e^x/x)-(1/x)-1) = +INF

Le tableau montre que e^x-1-x >(ou égal) 0
=> e^x >(ou égal) 1+x

CETTE QUESTION EST JUSTE


2. 1+X <(ou égal) e^x
=> 1-x <(ou égal) e^-x
=> 1-x <(ou égal) (1/e^x)
=> (1/1-x) >(ou égal) e^x

CETTE QUESTION EST SÛREMENT FAUSSE, j'aurai besoin d'aide pour les quatre suivantes ..


3.Pour cette question il faut traiter à part (1+(1/n))^n <(ou égal) e --> Réussi
et dans un autre temps e <(ou égal) (1+(1/n))^n+1 --> Celui-ci je n'ai pas réussi

1+x <(ou égal) e^x x = 1/n
1+(1/n) <(ou égal) e^(1/n)
(1+(1/n))^n <(ou égal) (e^(1/n)^n)
(1 + (1/n))^n <(ou égal) (e^(1/n*n))
(1+(1/n))^n <(ou égal) e^1
(1+(1/n))^n <(ou égal) e

QUESTION À DEMI FAITE


4.Pas réussie


5. Pas réussie non plus ..


Voilà, merci de bien vouloir éclairer ma lanterne
-----

[ansset]

Etudier les variations de la fonction g et en déduire que pour tout réel x, on a l'inégalité suivante : 1=x <(ou égal) e^x --> (A)

il doit y avoir une erreur de recopie, car c'est faux dans l'absolu.

[horaciochat]

Oui j'ai voulu le modifier mais il était trop tard ..

1+x <(ou égal) e^x

[ansset]

OK,
pour la 2

2. 1+X <(ou égal) e^x
=> 1-x <(ou égal) e^-x
=> 1-x <(ou égal) (1/e^x)
=> (1/1-x) >(ou égal) e^x

CETTE QUESTION EST SÛREMENT FAUSSE, j'aurai besoin d'aide pour les quatre suivantes ..

non, c'est OK, j'avais mal lu

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour la trois,
tu sais que 1+x <= e^x
que se passe t'il pour x=1/n ?

[horaciochat]

Hum pour la 2 j'ai déjà remplacer x par -x mais c'est à la dernière ligne lors du changement de < = à ça > = qu'il y a un problème je crois

[ansset]

et pour la seconde partie du 3 , essaye x=1/(n+1)

[horaciochat]

Pour la 3 j'ai remplacer x par 1/n d'où le x = 1/n

[ansset]

Hum pour la 2 j'ai déjà remplacer x par -x mais c'est à la dernière ligne lors du changement de < = à ça > = qu'il y a un problème je crois

pas du tout .
si a<=b avec a et b positif ici
alors en inversant , on change l'inégalité
1/a >=1/b

( 2<3 et 1/2 > 1/3 par exemple )

je e laisse faire la 3 maintenant, avec les indices.

[horaciochat]

Ah super merci pour la 3 j'ai trouvé ! J'avais essayé avec x=1/n c'est tout

[horaciochat]

Ah d'accord donc ce que j'ai mis pour la question 2 est juste ?

[horaciochat]

Bonjour !
est-ce que je pourrais avoir de l'aide pour les questions 4 et 5 s'il vous plait ?

[ansset]

la 4 se deduit très facilement de la 3.
en simplifiant le dernier terme de l'inéquation à démontrer et en // en remplaçant
(1+(1/n))^n par Un.
à toi de faire qcq chose.

[ansset]

en remplaçant ds l'équation du 3, pour être précis.