exo sur les suites

[369]

bonjour,

j'aimerai savoir comment commencer l'exo suivant:
Soit (Un) une suite de réel qui converge vers 0
montrer qu'il existe une suite extraite décroissante

voici ce que j'ai fais:
Un tend vers 0 donc |un| <=0 (UN) est bornée donc d'après le théorème de BOlzano-Weirstrass (Un) admet au moins une suite extraite convergente
Soit (Vn) une suite extraite de (Un) tel que Vn tend vers 0. Je veux montrer qu'elle décroit:
pour tout a>0; il existe N, pour tout n>=N, |Vn|<a (1)
pour tout a>0, il existe N', pour tout n>=N', |V_n+1|<a (2) car la limite d'une suite est unique
en faisant (1)-(2) j'arrive à |V_n+1-Vn|<=|V_n+1|-|Vn|<0
et là ca coince parce que l'inégalité que je trouve est complètement absurde. Où me suis-je trompé?
et comment résoudre cet exo?

merci de votre aide
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[God's Breath]

Soit (Un) une suite de réel qui converge vers 0
montrer qu'il existe une suite extraite décroissante

Encore un énoncé faux : la suite de terme général réel est strictement croissante, convergente, de limite nulle. Toutes les suites extraites seront, comme la suite initiale, strictement croissantes.

[369]

et bien là je ne sais pas, voilà ce qui était proposé:
soit (Un) ne suite de nombre réels qui converge vers 0
Est-ce que (<un) est décroissante à partir d'un certain rang? La réponse est non
Montrer qu'il existe une suite extraite décroissante.

donc pour que ce soit juste, il faudrait rajouter l'hypothèse (Un) décroissante?
dans ce cas, on l'admet

[God's Breath]

Je propose la correction :
soit (Un) ne suite de nombre réels positifs qui converge vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Ou alors tu as simplement oublié une valeur absolue. En effet, la suite |Un| admet une suite extraite décroissante si Un converge vers 0

[369]

non il n'y a rien. Je pense qu'il manque le mot positif
et dans ce cas ma solution est fausse

[Tryss]

Sinon pour répondre à la question initiale, on peut construire une telle suite extraite par récurrence à partir de la définition d'une suite convergente, en posant, par exemple, .

Attention cependant à bien extraire des indices strictement croissants (d’où la nécessité de la récurrence)

[369]

pourquoi cette valeur en particulier: 1/n

pourquoi doit on faire une récurrence?

il n'y pas longtemps j'ai fais l'exo suivant: soit A une partie de R non vide et non majorée. Montrer qu'il existe une d'éléments (xn) qui tend vers sup A

pour construire la suite je n'avais pas fais de récurrence?

[God's Breath]

Sinon pour répondre à la question initiale, on peut construire une telle suite extraite par récurrence à partir de la définition d'une suite convergente, en posant, par exemple, .

Je ne vois pas en quoi nous aide.

[Tryss]

Oui, pardon, ça ne répond effectivement pas au problème (j'ai du me mélanger avec une autre démonstration).

pourquoi doit on faire une récurrence?

Je n'ai pas dit qu'il fallait forcement faire une récurrence, j'ai dit qu'on pouvait faire une récurrence

L'idée de la récurrence que je propose est la suivante :
Comme Un converge vers 0, pour tout epsilon > 0, il existe un rang N à partir duquel tout les Un sont strictement inférieur à epsilon. Tu prends epsilon = min(Vm, 1/m), et tu peux construire Vm+1 qui convient (en faisant un peu attention tout de même, il faut en particulier traiter à part le cas des suites nulles à partir d'un certain rang)

PS : tout ceci avec la correction de God's Breath, qui considère que les termes sont tous positifs.

edit : changement d'indices

[God's Breath]

Il me semble que epsilon=Vm est suffisant pour conclure.

Quant à mon choix d'une suite à termes positifs, c'est pour simplifier les écritures : extraire une suite décroissante à partir de |Un| revient bien à utiliser une suite intermédiaire à termes positifs.

[Tryss]

Il me semble que epsilon=Vm est suffisant pour conclure.

Erf, oui, j'ai vraiment le cerveau qui bug ces temps-ci -_-'

(j'avais, je ne sais pourquoi, "oublié" que toutes les suites extraites convergeaient nécessairement vers 0 )

[369]

je n'ai pas compris ce que je suis censé faire avec epsilon, ni pourquoi epsilon=Vm
ce que je veux c'est une suite extraite décroissante. pour moi il faudrait chercher l'expression de cette suite puis voir si
V(m+1)-Vm<=0

[God's Breath]

On part de la suite de terme général de limite nulle.
On cherche à extraire une sous-suite décroissante.
Par extraction, cette sous-suite va converger vers 0 ; par monotonie, cette sous-suite va être à termes positifs.
Dans la suite initiale, il faut donc extraire des termes positifs : les éventuels termes négatifs ne nous intéressent pas, c'est pourquoi on suppose que l'on se donne une suite à termes positifs.
Dans la récurrence, lorsque l'on suppose avoir extrait le terme , on veut extraire le terme suivant de telle sorte que : .
Pour ce faire, la seule hypothèse dont on dispose est :



C'est donc l'inégalité qui va nous permettre d'extraire , d'où le choix de .

[369]

en faites Vm on l'a déjà en le prenant égale à epsilon?
tout ce qui nous intéresse c'est Vm+1

[God's Breath]

en faites Vm on l'a déjà en le prenant égale à epsilon?
tout ce qui nous intéresse c'est Vm+1

Non, c'est avec l'hypothèse de récurrence que l'on suppose avoir , et il faut définir pour construire qui nous intéresse pour passer au rang suivant de la récurrence.

[369]

bon là je suis complètement perdu.
Je ne vois pas quel est la propriété à montrer par récurrence.
Et que met-on pour l'initialisation?

[God's Breath]

La propriété que l'on montre par récurrence est l'existence du terme v_m de la suite extraite.
On initalise la récurrence par extraction d'un terme v₀ quelconque, u₀ par exemple.
L'important est de prouver que l'on peut toujours extraire un terme inférieur à celui auquel on est parvenu : c'est le principe même de la construction d'une suite décroissante.

[369]

d'accord j'ai enfin compris
du coup quand on veut construire quelque chose c'est mieux de procéder par récurrence
par exemple pour ce problème j'aurai dû faire une récurrence: soit A une partie de R non vide et non majorée. Montrer qu'il existe une d'éléments (xn) qui tend vers sup A

[God's Breath]

quand on veut construire quelque chose c'est mieux de procéder par récurrence

Pour faire une récurrence, il faut qu'il y ait un entier n sur lequel faire porter la récurrence, ça ne fonctionne donc essentiellement que pour les suites.

par exemple pour ce problème j'aurai dû faire une récurrence: soit A une partie de R non vide et non majorée. Montrer qu'il existe une d'éléments (xn) qui tend vers sup A

Le principe d'une récurrence, c'est de passer de n à n+1, il faut donc que le problème fasse intervenir un lien entre x_n et x_n+1, ce qui n'est pas le cas dans cet exemple.
Encore une fois, relis tes messages : tu nous parles d'une partie A non vide et non majorée en vue d'une conclusion sur sup(A), ce qui est pour le moins étrange.

[369]

en faite , on prend supA=oo et on veut montrer qu'il existe une suite (xn) qui tend vers sup A

[God's Breath]

Il suffit de construire une suite croissante et non majorée dans A, ce qui est possible puisque A est non majorée.