un peu de géométrie

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai savoir si la solution que j'ai trouvé convient pour cet exercice:
soit ABC un triangle du plan affine et soit Mo un point du côté [AB]. La parallèle à (BC) issue de Mo coupe le côté AC en M1. La parallèle à (AB) issue de M1 coupe le côté BC en M2,.... On définit ainsi une suite de points Mi, i dans N. Montrer que M6=Mo

voilà ce que j'ai fais:
on a (M_iM_i+1) parallèle soit à (AB), (AC), (BC)
si on a M6=Mo alors (M5M6) parallèle à (AC) d'où (M4M5) parallèle à (AB), (M3M4) parallèle à (BC)
en poursuivant ainsi on arrive à (M6Mo) parallèle à (BC) ce qui est vraie par hypothèse
donc on a bien M6=Mo

est-ce bon?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

si on a M6=Mo [...], donc on a bien M6=Mo

Démontrer que, si on a la propriété P, alors on a la propriété P
– est immédiat, et il n'y a pas besoin de 3 lignes;
– est totalement inutile.

On définit une application f de la droite (AB) dans la droite (AB) en posant f(M₀)=M₆.
On veut prouver que cette application est l'identité.
On peut par exemple:
– commencer par établir que f est une application affine;
– déterminer les images par f d'un nombre suffisant de points de (AB) pour conclure.

[invite371ae0af]

d'accord je vais essayer cette idée, merci

[invite14e03d2a]

Une autre idée, peut-être moins jolie que celle de God's breath, est de travailler dans le repère (A,AB,AC) et de calculer les coordonnées des différents points qui interviennent (c'est très rapide).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

pour résoudre l'exo, j'ai pensé à utiliser thalès au point B: je veux montrer que BMo=BM6
BM5/BC=BM6/BA=M6M5/AC
BM2/BC=BMo/BA=M2Mo/AC

par comparaison j'arrive à:
BM6x M2Mo=M6M5x BMo
mais comment montrer que M2Mo=M6M5?

[invite57a1e779]

Bonne idée d'utiliser Thalès.

BM5/BC=BM6/BA

de cette égalité, il faudrait en déduire AM6/BACM5/BC et poursuivre avec le théorème de Thalès au point C.

[invite371ae0af]

merci j'essaierai ca

[invite371ae0af]

j'ai cherché et je ne vois pas comment déduire:
AM6/BA=CM5/BC de ca: BM5/BC=BM6/BA

[invite57a1e779]

Avec des mesures algébriques :

[invite371ae0af]

on ne peut pas utiliser Chasles avec les valeurs algébriques. C'est que pour les vecteurs?

[invite57a1e779]

Une mesure algébrique sur une droite, c'est une mesure de longueur avec un signe qui précise l'orientation. C'est la présence de ce signe qui fait que la relation de Chasles vaut pour les mesures algébriques sur une droite.

[invite371ae0af]

je pensais qu'une mesure algébrique était une longueur
et donc si je prend la relation
ca veut dire que la disance AM6= distance AB + distance AM6 et ca on ne le sait pas

[invite57a1e779]

je pensais qu'une mesure algébrique était une longueur

Les points A et B scindent la droite (AB) en trois parties : une demi-droite d'extrémité A, le segment [AB], une demi-droite d'extrémité B?
Suivant que le point M₆ appartient à l'une ou l'autre de ces parties, tu as les relations, en longueur :
M₆B=M₆A+AB ou AB=AM₆+M₆B ou AM₆=AB+BM₆.

La notion de mesure algébrique permet d'affecter les longueurs d'un signe, de telle sorte que les relations précédentes s'expriment toutes de la même façon : la relation de Chasles.

Si tu ne sais pas ce qu'est une mesure algébrique, il vaut mieux renoncer à Chasles.

Tu peux revenir à l'idée de taladris, message #4, en raisonnant analytiquement dans un repère, ou à ma première idée ; dans ce cas, il faut que tu comprennes que le théorème de Thalès n'est qu'un théorème sur la projection oblique d'une droite sur une autre dans la direction des droites parallèles, et que ton problème est une composition de 6 projections obliques.

[invite371ae0af]

j'ai encore une question:
est ce que mesure algébrique de AM6=-mesure algébrique de M6A ou bien =mesure algébriqueM6A?

[invite57a1e779]

En mesure algébrique, pour deux points quelconques : .

[invite371ae0af]

encore une petite question qui n'a rien à voir:
val algébrique de AC= val algébrique de CB

ca entraine AC=CB?

je demande ca pour être sûr que l'exo que j'ai fais après celui-là est bon

[Amanuensis]

Tu peux revenir à l'idée de taladris,

Une variante de cette idée, pour ceux qui aiment bien garder la symétrie de permutation des sommets, est de travailler en coordonnées barycentriques, les transformations ayant la même forme à permutation près...

(On peut même voir cela à l'envers, et voir chaque passage comme une permutation des sommets, ce qui, sans même construire les 6, implique que son ordre divise 6.)