Exercice de 3eme entire naturel n

[Ninite33]

Démontrer que pour tout entier naturel n, le triangle dont les côtés ont pour longueur 2n, n²+1 et n²-1 est un triangle rectangle.... Bon voila, je vais pas vous mentir c'est la première fois que j'ai autant de mal à réaliser un exercice. J'avais penser à faire une figure au départ, mais ça ne prouve en rien que pour tout entier n, ces longueurs seraient celles d'un triangle rectangle. Alors j'ai appliquée le théorème de Pythagore mais ça ne me donne pas le même résultat quand j'utilise n pour remplacer un nombre entier... Je ne sais plus quoi faire...
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[shezone]

bonsoir ninite33 ,

tu dois montrer que le triangle est rectangle , pour cela tu dois utiliser la réciproque du théorème de Pythagore .
Calcules par exemple (n²+1)² , (n²-1) ² , (2n)² . Quelle relation fais tu? et quelle conclusion peux tu faire ?

Il n'y pas de grandes difficultés dans ton exercice il faut juste appliquer ton théorème (sauf qu'ici les valeurs ne sont pas des nombres comme on peut le voir dans les exercices basiques ).

cdt

[PlaneteF]

Bonsoir,

Alors j'ai appliquée le théorème de Pythagore mais ça ne me donne pas le même résultat quand j'utilise n pour remplacer un nombre entier... Je ne sais plus quoi faire...

Si, si, Pythagore marche très bien en prenant pour la longueur de l'hypothénuse.

Cordialement

[shezone]

Essayes de montrer aussi quel est le côte le plus long , ce qui permettrait de mettre en relation l'égalité du théorème .
PlanèteF on ne peut pas encore dire que n²+1 est l'hypoténuse mais juste dire que c'est le côté le plus grand .

cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

PlanèteF on ne peut pas encore dire que n²+1 est l'hypoténuse mais juste dire que c'est le côté le plus grand .

C'est juste pour donner un indice du résultat attendu. Ou dit autrement je suggère à Ninite33 de calculer, ... mais du coup j'en dirais trop !!

Cdt

[Ninite33]

En fait pour mieux comprendre j'avais auparavant remplacer n par des valeurs numériques et effectivement la longueur correspondant à n²+1 était la plus longue. Quand j'utilise la réciproque du théorème de Pythagore ça donne: (n²+1)²= (n²-1)² + (2n)² donc? Mais j'ai aussi supposé que (n²-1) pouvait être une identité remarquable de sorte que n²-1= (n+1)²(n-1)².... Mais je ne sait pas si elle aurait une quelconque utilité...

[Ninite33]

Pardon je ne sais pas pourquoi j'ai mit des ² a l'identité remarquable

[shezone]

si tu as remarqué que (n²+1)² = (n²-1)² + (2n)² , je vois pas ce que tu n'arrives pas à faire puisque l'exercice est fini .

cdt

[Ninite33]

Mais l'on doit faire un calcul pour justifier (n²+1)² = (n²-1)² + (2n)² non?

[shezone]

Be comment as tu remarqué cela si tu n'as pas fais le calcul ? si tu ne calcules pas tu ne peux pas faire de démonstration .

cdt

[Ninite33]

Non mais ce qui me trouble c'est le fait qu'un carré soit au carré.... Dans ce cas là est ce qu'il reste au carré.... Désolé, ça vous semble sans doute evident mais je bloque et pour résoudre (n²-1)²+ (2n)².... Il faut développer parce que sinon je ne vois pas comment la résoudre autrement.

[PlaneteF]

Il faut développer parce que sinon je ne vois pas comment la résoudre autrement.

Pas obligatoirement, tu peux très bien passer un terme dans l'autre membre, puis factoriser !

Cdt

[shezone]

Tu as du apprendre les propriétés des puissances on a (n²)² = n ^(²*²) = n^4

cdt

[PlaneteF]

Pas obligatoirement, tu peux très bien passer un terme dans l'autre membre, puis factoriser !

Et je précise en rappelant que :

Cdt

[Ninite33]

Passer un terme dans un autre? C'est à dire passer (2n)² dans (n²-1)²? Ou alors comme une équation?

[PlaneteF]

Passer un terme dans un autre? C'est à dire passer (2n)² dans (n²-1)²? Ou alors comme une équation?

Et bien factorise : en utilisant l'identité remarquable

Cdt

[Ninite33]

Donc du coup (n² + 1)² - (n² - 1)²= [(n²+1)+(n²-1)] [(n²+1)-(n²-1)] c'est ça?

[PlaneteF]

Et ben tu peux simplifier à l'intérieur de tes crochets !!

Cdt

[Ninite33]

(n²+1+n²-1) (n²+1-n²+1)
(2n²) (2)
Est ce que c'est ça? Je suis désolé, j'ai un doute...

[PlaneteF]

Ben oui, ... et ça fait bien !

Cdt

[Ninite33]

Ce n'est pas plutôt (4n²)? Mais du coup pour en revenir à la question initiale, on peut donc conclure que c'est 2n l'hypotenuse si (2n)² est le résultat?

[shezone]

tu as 2n² *2 = 4n² = (2n)² .
Si tu as (n²+1) - (2n)² = (n²-1)² alors tu as bien que (n²+1)² = (2n)² + (n²-1)² donc non 2n n'est pas l'hypoténuse.

cdt

[Ninite33]

D'accord! Je pense avoir compris maintenant! Merci beaucoup à vous deux de m'avoir aidée! Et désolé si j'étais un peu longue à comprendre....

[PlaneteF]

A noter que tu aurais aussi pu obtenir l'égalité voulue en développant les différents termes, avec , etc ...

... je t'avais suggéré de factoriser pour te montrer que l'on était pas obligé de développer contrairement à ce que tu disais.

Cdt

[PlaneteF]

Autre remarque :

Démontrer que pour tout entier naturel n, (...)

Si l'on veut avoir des côtés avec des longueurs strictement positives, ce serait plutôt pour tout entier naturel tel que .

Cdt