Bonjour,
Je dois utiliser la récurrence, mais je ne sais pas par où commencer...
On a la fonction f(x) = (e^(x)-1)/(e^(x)-x)
On considère la suite (Un) par u0 = 1/2 et Un+1 = f(Un)
Il faut démontrer que: 1/2 < Un < Un+1 < 1
J'ai calculé les premiers termes de la suite, donc on peut conjecturer que la suite est croissante. Mais je ne sais pas comment utiliser la récurrence ensuite.
D'avance merci
Bonjour Matt 98 ,
Dans ton exercice tu n'as pas eu avant à étudier ta fonction f ? pour obtenir ses variations par exemples ?
Sinon tu peux essayer de le faire pour pouvoir résoudre ton exercice.
cdt
Oui, on peut dire que la fonction f est strictement croissante sur [0; 1]... Donc on peut dire que comme f est croissante, elle est majorée et on déduit que:
Un < Un+1 < 1 ? Cela suffit-il pour démontrer que: 1/2 < Un < Un+1 <1 ??
Merci !
f est croissante donc f est majorée ? c'est un résultat que tu as prouvé ou c'est une propriété inventée ?
Sinon comme f est majorée tu n'as donc pas de problème pour ta récurrence . tu appliques f à U(n) et cela ne change pas le sens de variation.
Que vaut f(1) ?
cdt
^^...
f(1) vaut 0,56 donc U0 < U1 < 1 ? Mais après comment peut-on faire...?
d'après la fonction que tu as mis on a (e-1) / (e-1) = 1 pour moi
et f(0) = 0
cdt
(e^x-1)/(e^x-x)=(e^(1/2)-1)/(e^(1/2)-1/2)
Voici la fonction, ainsi que le calcul pour U1... Et le premier terme de la suite est 1/2...
Merci
ah oui effectivement je n'avais par vu que c'était pour 1/2 mais cela ne change rien au résultat .
cdt
Bonsoir,
@Matt98,
Il faut structurer ta rédaction car là on ne voit pas trop où tu vas !
Voilà comment on peut présenter la rédaction :
Par récurrence, démontrons que :
Au rang: Tu montres que
Ensuite, soit
Démontrons que :
Maintenant à la triple inégalité
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 30/12/2015 à 18h29.
