Démonstrations et Nombres réels

[invite31eac219]

Bonjour,

Je regarde un exercice qui me pose problème, et je n'arrive pas à avancer, malgré le fait que je pense que la solution n'est pas si difficile (à vrai dire j'ai un peu honte de ne pas trouver, vu le niveau, mais bon ! )

donc voici :

1)Démontrer que pour tous les nombres réels x et y
xy = ((x+y)/2)² - ((x-y)/2)²


Ca c'est bon, cela ne pose pas de probleme

2) Justifiez que pour tous les nombres réels x ey y, on a

xy< ((x+y)/2)²

Et la je coince, je ne vois pas comment justifier cela

Merci de m'aider ou de me donner une piste, car ca fait un moment que je suis dessus et je pense que je m'égare !
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[gg0]

Ben ... ((x-y)/2)² est un nombre de quel type ? Et si tu le soustrais à ((x+y)/2)² ça va faire ...

Cordialement.

[invite31eac219]

Merci de votre réponse, j'avais essayé de le soustraire, mais je ne vois pas trop dans qu'elle mesure cela m'avance ...

[invite23cdddab]

Indice : le carré d'un nombre réel est toujours positif

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31eac219]

gg0

Re : Démonstrations et Nombres réels
Ben ... ((x-y)/2)² est un nombre de quel type ? Et si tu le soustrais à ((x+y)/2)² ça va faire ...

Si je fais ca, je retombe sur xy (1er point non ?)

Tryss2

Re : Démonstrations et Nombres réels
Indice : le carré d'un nombre réel est toujours positif

Je suis d'accord avec ca, j'etais au depart justement partie de ce coté pour la justification.

Mais comment arriver au faire que xy soit inférieur à ((x+y)/2)² ?

Je suis totalement perdue

[invite184b87fd]

bonjour

tu as ((x+y)/2)² positif . si tu développes ton identité tu garderas toujours cette positivité et maintenant tu soustrais xy à ton inégalité

cdt

[gg0]

Killboul,

Tu as un nombre positif, tu lui soustrais un nombre positif, ça te donne xy. Il n'y a pas besoin de beaucoup d'imagination pour voir que xy est donc plus petit que le premier ? A moins de ne jamais avoir soustrait pendant l'école primaire !!!
Tu es totalement perdue parce que tu n'utilises pas ton cerveau pour comprendre ce qui se passe, seulement pour deviner "ce qu'il faut écrire". Et comme on ne te le dit pas !!! je t'aide encore, mais tu vas trouver que c'était tellement simple !

Reste plus qu'à transformer ça en une preuve bien rédigée. Tu peux partir de

Dont on déduit

Reste plus qu'à additionner.

Cordialement.

[invite31eac219]

gg0 merci de votre réponse

C'est en effet tout bête, mais je n'etais pas dans cette simplicité ! Je voulais absolument faire jouer les identités remarquables, et j'étais entétée sur ce point !

Pour information ce n'est pas pour un devoir, je ne suis en effet plus a l'école. Il s'agissait d'un exercice que l'une de mes connaissances a eu a faire, et j'etais restée bloquér dessus, mais je voulais néanoins comprendre le pourquoi du comment !

Dernière question, l'égalité ((x+y)/2)²=xy, peut être obtenue si ((x-y)/2)²=0, donc si x=y
C'est bien cela ?

[gg0]

Oui.

Si x=y, les deux membres valent x².

[invite31eac219]

Merci beaucoup pour l'aide

[PlaneteF]

Bonsoir,

Dernière question, l'égalité ((x+y)/2)²=xy, peut être obtenue si ((x-y)/2)²=0, donc si x=y
C'est bien cela ?

Tu peux même écrire "si et seulement si".

Cordialement