Suite

[Gohan.]

Bonsoir,
Soit a un entier, a>1 fixé et soit (Un) la suite définie par Un = aⁿ.
1. Démontrer que (Un) est strictement croissante.
En déduire que aⁿ=1 si et seulement si, n=0
2. Démontrer que (Un) n'est pas majorée.
3. Démontrer que pour tout N de ℕ∖(0), il existe un entier naturel unique n, tel que aⁿ ≤ N ≤ aⁿ⁺¹.
4. Démontrer que quelque soit N ∊ ℕ il existe k entier naturel unique et α(k) suite d'entiers naturels de [0;a-1] tel que α_ka^k ≤ N ≤ (α_k+1)a^k
En déduire qu'il existe un entier unique n tel que N = α_naⁿ + α_n-1aⁿ⁻¹+...+ α₁a + αₒ
Que représente la suite (α_n,α_n-1,...,α₀)
voilà ce que j'ai fait:
1) on a U(n+1)/U(n) = aⁿ⁺¹/aⁿ = a>1 donc (Un) est croissante.
Soit f la fonction tel que f(x)=a^x et soient x et y 2 entier tel que f(x)=f(y) donc a^x=a^y ce qui n'est vrai seulement si x=y donc f est injective.
On a Un=aⁿ si n=0 alors U₀=1 on en conclu que Un=1 si et seulement si n=0.
2) Supposons que (Un) soit majoré donc il existe N tel que Un≤N donc lim(+infini)Un ≤ lim(+infini)N absurde donc (Un) n'est pas majoré.
3. Considérons un ensemble F = (n entier / aⁿ ≥ N). Supposons que n=n_min donc si a^n_min≥N alors a^n_min-1≤N donc a^n_min-1≤ N ≤ a^n_min on en conclu que quelque soit N il existe n / aⁿ ≤ N ≤ aⁿ⁺¹.
4. A partir d'ici je commence à avoir des problèmes.
5. Je dirai que ça représente des coefficients des monômes d'un polynôme de degré n.
Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

2) "absurde" ???? quelle serait l'absurdité ?
3) mériterait une rédaction plus claire, en particulier de justifier l'existence de n_min.
4) Examine le cas a=10, puis N=31254, pour comprendre ce qu'on te fait faire. Regarde aussi ce que ça donne pour la question 5. C'est bien plus simple !!

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

1) on a U(n+1)/U(n) = aⁿ⁺¹/aⁿ = a>1 donc (Un) est croissante.

Pour pouvoir conclure comme tu le fais, il faut préciser que la suite est strictement positive.

Soit f la fonction tel que f(x)=a^x et soient x et y 2 entier tel que f(x)=f(y) donc a^x=a^y ce qui n'est vrai seulement si x=y donc f est injective.
On a Un=aⁿ si n=0 alors U₀=1 on en conclu que Un=1 si et seulement si n=0.

Pas clair, ... où utilises-tu explicitement la stricte croissance de la suite comme te le demande l'énoncé ??


Cordialement

[Gohan.]

2) lim(+infini)Un = + l'infini et lim(+infini)N = N or un nombre infini ne pouvant pas être inférieur à un réel donc on obtient une absurdité.
3) On sait que (Un) n'est pas majorée donc quelque soit l'entier naturel N aussi grand qu'il soit il existe un n tel que Un ≥ N maintenant en posant n=n_min c'est à dire le plus petit entier vérifiant la relation on peut dire que si Un_min≥N alors U_nmin-1 ≤ N donc on peut donc en conclure cela.
4) Ici j'ai pensé à refaire le même méthode que précédemment en posant G=(k entier/ N ≤ (α_k+1)a^k) ensuite poser N minimal et en conclure que α_ka^k ≤ N ≤ (α_k+1)a^k.
Pour l'égalité j'ai posé N= somme des A(i) avec 0≤i≤n et A(i) un entier vérifiant la relation α_iaⁱ ≤ A(i) ≤ (α_i+1)aⁱ ainsi en procédant par itération puis en faisant la somme j'obtient α₀+α₁a¹+...+α_naⁿ ≤ N ≤ α₀+α₁a¹+...+α_naⁿ+a⁰+a¹+...+aⁿ supposons maintenant que N soit le plus petit entier vérifiant la relation alors on peut poser l'égalité α₀+α₁a¹+...+αaⁿ = N (cqfd).
Pour la question de PlaneteF je pense que je pu dire: étant donné que (Un) est strictement donc pour tout Un il existe un unique n tel que Un=aⁿ donc puisque Un=1 pour n=0 on en déduit ainsi que n est unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Pour la 5ème question la suite représente les coefficients de l'écriture de N en base a.

[PlaneteF]

Pour la question de PlaneteF je pense que je pu dire: étant donné que (Un) est strictement donc pour tout Un il existe un unique n tel que Un=aⁿ donc puisque Un=1 pour n=0 on en déduit ainsi que n est unique.

Incompréhensible.

Cdt

[Gohan.]

C'est vrai que je fais quelques fautes car je ne prends pas beaucoup de temps pour relire. Maintenant j'ai dit puisqu'une fonction strictement monotone est injective donc il existe un unique entier qui peut vérifier Un=1 ce qui est facile à déterminer.

[PlaneteF]

2) lim(+infini)Un = + l'infini et lim(+infini)N = N or un nombre infini ne pouvant pas être inférieur à un réel donc on obtient une absurdité.

Tu as la définition d'un nombre infini dans ton cours ? ... On est dans , ça veut dire quoi ce que tu écris ?

Cdt

[PlaneteF]

Maintenant j'ai dit puisqu'une fonction strictement monotone est injective donc il existe un unique entier qui peut vérifier Un=1 ce qui est facile à déterminer.

Ce n'est pas du tout la justification que te demande l'énoncé où tu dois utiliser le fait que la suite est srictement croissante, chose que tu ne fais pas.

Tes réponses aux 2 premières questions ne sont toujours correctes.

Cdt

[Gohan.]

Merci pour vos explications. Voilà une autre démonstration:
1. On sait que a>1 donc aⁿ>1>0 donc on peut faire le rapport et montrer que (Un) est croissante.
2. Pour montrer l'unicité de n on va supposer qu'il existe n et m vérifiant Un=1 ,Um=Un , a^m=aⁿ ce qui n'est possible que si n=m ainsi on peut dire que n est unique de plus a>1 donc aⁿ=1 si et seulement si n=0.
Mais est-ce que les autres réponses sont bonnes? Merci

[PlaneteF]

1. On sait que a>1 donc aⁿ>1>0 donc on peut faire le rapport et montrer que (Un) est croissante.

Non, ce n'est pas uniquement pour cela que l'on doit invoquer la stricte positivité de la suite pour pouvoir conclure.

2. Pour montrer l'unicité de n on va supposer qu'il existe n et m vérifiant Un=1 ,Um=Un , a^m=aⁿ ce qui n'est possible que si n=m ainsi on peut dire que n est unique de plus a>1 donc aⁿ=1 si et seulement si n=0.

On te demande de montrer l'unicité de quelque chose ?? ... Et pour la 10e fois, où utilises-tu le fait que la suite est strictement croissante ?! ... CE QUE TE DEMANDE L'ENONCE !

Mais est-ce que les autres réponses sont bonnes? Merci

Ta justification sur le fait que la suite n'est pas majorée n'est pas correcte --> Cf. message#8

Je n'ai pas du tout lu la suite de tes réponses, ... de toute manière le début n'est pas correct.


Cdt

[Gohan.]

Salut en fait j'avoue que je ne comprends pas ce que vous voulez que je fasse. Maintenant pourriez me montrer comment se résout ce genre de problème ça me servira ainsi d'exemple pour les autres démonstrations que j'aurais à faire car je n'ai plus aucune idée en tête. Merci

[invite51d17075]

pour la 1), il ne manque que cela.

Pour pouvoir conclure comme tu le fais, il faut préciser que la suite est strictement positive.

pour la 2)
ton idée de passer par les limites est tortueux, ou alors très mal formulé.
Il te suffit de montrer que quel que soit X , et quel que soit a>1 alors il existe un n tel que a^n>X !

ps: en quelle classe es tu ? ce n'est pas du tout une remarque péjorative, mais plutôt pour apporter des réponses en phase avec ton parcours.
cordialement

[PlaneteF]

Bonjour,

pour la 1), il ne manque que cela.

Et pour la suite de cette question il manque la déduction demandée en utilisant la stricte croissement de la suite.

pour la 2)
ton idée de passer par les limites est tortueux, ou alors très mal formulé.
Il te suffit de montrer que quel que soit X , et quel que soit a>1 alors il existe un n tel que a^n>X !

Ou encore utiliser la propriété : "Toute suite croissante et majorée est convergente", ... et la démonstration est immédiate (si l'on utilise le fait que la suite diverge vers ).

ps: en quelle classe es tu ? ce n'est pas du tout une remarque péjorative, mais plutôt pour apporter des réponses en phase avec ton parcours.
cordialement

Je me pose la même question pour une autre raison, juste parce que Gohan. parle d'injectivité sur un forum du collège et du lycée


Cordialement

[PlaneteF]

en utilisant la stricte croissement de la suite.

croissance

[invite51d17075]

Ou encore utiliser la propriété : "Toute suite croissante et majorée est convergente", ... et la démonstration est immédiate (si l'on utilise le fait que la suite diverge vers ).

Oui, plus immédiat.
On peut supposer qu'il connait ce critère.