Pour modéliser la production d'une entreprise les énomistes utilisent des fonctions qui suivent le modèle dit de Cobb-douglas:
z=Ax& yb. (A, &, b sont des réels strictement positifs)
où z désigne une quantité obtenue à partir de deux quantités variables x et y.
Partie A:
On considère les fonctions f et h définies pour x E [0;10] et y E [0;10] respectivement par f(x,y)= x(1/3) y(1/2) et h(x;y)= (1/4)x²y
11/vérifier que f et h sont deux fonctions de cobb-douglas en donnant pour chacune d'elles les valeurs de A, & et b.
2/les représentations graphiques de f et g figurent parmi les trois représentations graphiques ci-après associer a chaque fonction sa représentation graphique.les choix seront justifiés.
Partie B:
La fabrication d'un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines M et M'. les durées de fonctionnement des machines M et M' sont exprimées en centaines d'heures sont respectivement égales à x et y. la quantité produite, exprimée en tonnes, est z=h(x;y), ou h est la fonction définie à la partie A.
1/les horaines de travail font que la somme de sdurées de fonctionnement de deux machines M et M' est de huit centaines d'heures.
a/montrer que z=2x²-(1/4)x3
b/soit la fonction g définie parg(x)=2x²-(1/4)x3 pour x E [0;8]
étudier les variations de g et en déduire les durées de fonctionnement x et y qui assurent une production maximum.
Réponse: Partie A:
1/ f est une fonction de Cobb-douglas car elle est de la forme z= Ax& yb
f(x;y)=x(1/3) y(1/2)
soit z=x(1/3) y(1/2)
Avec A= 1, &=1/3 et b=1/2
De même pour la fonction h:
h(x;y)=(1/4)x²y
avec A= 1/4, &=2 et b=1
2/pour savoir les représenatons graphique il suffit que je prenne des valeurs au hasard, non?
puis que je me repporte aux graphique qui y corresponde le plus.
Partie B:
1/a /.
b/ étudions les sens de variations:
calculons g'(x)
g'(x)= 4x -(3x²/4)
soit g'(x)= (16x-3x²)/ 4
donc g'(x)=0 ssi 16x-3x²=0
ssi x(16-3x)=0
ssi x=16/3 et x=0
tableau de variation il y a un maximum en g(16/3)=19 environs
Non?
Merci d'avance.
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