Empilage de racines

[inviteb783d9f6]

Je me suis rendu compte que, en empilant sur 2 des racines sur des racines, le nombre obtenu semble tendre vers 1 lorsque le nombre de racines tend vers l'infini. C'est logique car la racine d'un nombre plus grand que 1 est toujours plus petit que ce nombre. Cependant cela l'interpelle a propos de la notion d'infini en mathématiques. En effet si l'on met un nombre infini de racines, le nombre obtenu serait-il égal à 1 ? Sauf qu'il ne peut être égal à 1 car 1 mis à n'importe quelle puissance même infinie vaudra toujours 1. Cela met en défaut la notion d'infini.
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[Médiat]

Bonjour,

Attention, avec l'infini, il est facile d'écrire n'importe quoi !

Soit un réel strictement positif ; soit la suite définie par :

, alors ce que l'on peut dire c'est .

Mais parler de "un nombre infini de racines" n'est pas mathématique.

[gg0]

Bonjour.

On peut définir proprement cette question, car "une infinité de racines superposées" n'est pas une écriture (on ne peut pas écrire une écriture infinie). par exemple, on considère la suite U définie par

En calculant les premiers termes de ta suite, tu verras que c'est bien une traduction de ton problème.
On montre facilement qu'aucun terme de cette suite n'est égal à 1 (" 1 mis à n'importe quelle puissance [] vaudra toujours 1") et que sa limite (idée de ce qui se passe à l'infini) est bien 1.

En général, on évite de manipuler l'infini comme si c'était un nombre (" 1 mis à n'importe quelle puissance même infinie vaudra toujours 1" ?? C'est quoi, une puissance infinie, quel nombre est l'exposant?). On a défini les notions de limites (et bien d'autres) pour éviter les fausses contradiction (comme ici ton 1 qui n'est pas 1).

Cordialement.

[invite396f0d7e]

Salut,

Personnellement je vois ça comme ça :

etc

Or si tu prends une suite géométrique de raison q=1/2 (donc |q|<1) et avec n termes () alors elle tend vers 0.
Tu as donc :

[A voir en vidéo sur Futura]