Dénombrement

[Gohan.]

Bonsoir, je n'arrive plus à avancer à la 2ème partie de mon exercice merci de bien m'y aider:
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Nn désigne l'ensemble des entiers naturels à n chiffres.
1.a. Calculer card(N3)
b. Combien d'éléments de N3 ne contiennent pas de zéro.
c. En déduire que le nombre d'élément de N3 qui contiennent au moins un zéro est 171.
2. Nn,1 désigne l'ensemble des éléments de Nn qui contiennent un seul zéro.
a. Calculer card(N3,1) et Card(N4,1)
b. Calculer card(Nn,1)
3. Nn,2 désigne l'ensemble des éléments de Nn qui contiennent exactement deux zéros.
Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on a:
card(Nn,2)= 9^(n-2) (n-1)(n-2)/2

Réponses:
1.a je trouve 900 en tenant compte le fait que abc élément de N3 si et seulement si a≠0
b. Là je trouve 729 en utilisant les p-uplets.
c. Par différent on a 900-729=171
2.a N3,1 = 162 et N4,1= 6561
b. Je ne peux plus avancer je vois trop de conditions qui se posent à mes yeux surtout comment déterminer le nombre d'anagrammes des différents nombres.
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[gg0]

Bonjour.

Comment as-tu trouvé 162 et 6561 ? ne peux-tu généraliser ?

Le 6561 me surprend ... il y a 9000 nombres à 4 chiffres, et tu dis que les deux tiers ont un 0 et un seul ???

Cordialement.

[Gohan.]

J'espère au moins que le nombre d'éléments de N3,1 est bon.
Pour N4,1 j'ai considéré un nombre abcd élément de N4,1 on sait que:
Card(a)=9 car a est non nul.
b,c et d des des chiffres dont un et un seul est nulle c'est à dire qu'on a:
soit c=0 tandis que b et d appartient à l'ensemble {1,...,9}
soit b=0 " " " " c et d " " " " "
soir d=0 " " b et c " " "
Je peux donc en déduire que le nombre d'élément de N4 est [card(a)*card(b)*card(c)*card(d )]*(3!-3!/2!)
= (9*9*9*1)(3!-3!/2!)
= 2187 éléments
le nombre (3!-3!/2!) représente le nombre d'anagramme possibles de bcd selon qu'il sont tous distincts ou bien 2 d'entre eux se ressemblent. Tout à l'heure j'avais fais erreur car à la place du moins de (3!-3!/2!) j'y avais mis un plus.

[gg0]

Je ne comprends pas ton histoire d'anagrammes, il n'y a aucune interdiction d'avoir deux ou trois fois le même chiffre.

Simplement :
Il y a trois cas possibles incompatibles, selon que le 0 est en b, en c ou en d. Il n'y a pas d'autre 0, donc les trois lettres non nulles on chacune 9 valeurs possibles, ce qui donne 9^3 possibilités à chacun des cas, donc au total 3x9^3=2181 nombres.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Pourrez vous m'expliquez pourquoi vous avez multiplier 9^3 par 3? Ou bien ça correspond au 3 cas identifiés?

[gg0]

Parce que "ça correspond aux 3 cas identifiés". 729+729+729=3x729.

[Gohan.]

Pardon j'avais pas bien lu votre message tout à l'heure. Maintenant pour la question 2b) je vais essayer de généraliser les résultats obtenus en 2a):
Soit AnAn-1......A1 un élément de Nn,1 on sait que;
Pour les chiffres An,...,A1 on sait que le nombre de cas incompatibles est:
(n-1)!/2! s'il y'a seulement deux chiffres nuls
(n-1)!/3! s'il y'a seulement trois chiffres nuls
...
...
(n-1)!/(n-1)! si tous les chiffres sont nuls sauf An bien sûr.
Ceci donne un total de (n-1)!∑(k allant de 2 à n-1) 1/k!.
On sait que le nombre d'élément de Nn est 9*10^(n-1) donc on en déduit que le nombre d'éléments de Nn,1 est la différence du nombre d'éléments de Nn par le nombre de cas incompatibles soit: 9.10^(n-1) - (n-1)!∑(k allant de 2 à n-1) 1/k!.
Mais il y'a quelque chose qui me pose problème, on sait qu'on a demander de déterminer l'ensemble des nombres à n chiffres contenant un seul 0. Maintenant supposons que n soit égal à 5 prenons l'exemple du nombre 19209 on sait que ce nombre appartient à N5 mais si on cherche son nombre d'anagramme n'est-ce pas on devrait faire 4!/2! en supposant 1 comme fixe donc j'ai 12 anagrammes en fait ici j'ai tenu compte du nombre de fois que l'on a le 9 donc ça diminue n'est-ce que le nombre de possibilités et c'est là que se trouve mon problème si par exemple dans le nombre AnAn-1......A1 il y'avait p fois le nombre 1, q fois le 2,... pourquoi on n'y tient pas compte en déterminant le nombre d'éléments de Nn,1 (ceci explique en fait ma démarche fait en 21h03 je voulais y enlever ces cas particuliers) j'espère que vous me comprenez et que ma question n'est pas trop farfelue cette fois au moins merci de votre aide.

[gg0]

Désolé,

je ne comprends rien à ce que tu racontes, je crois simplement que tu n'as pas compris la méthode de dénombrement que j'ai utilisée. Il te suffit de vraiment comprendre comment on fait de façon très simple pour n=3 et n=4 pour généraliser, la formule finale est très simple.

[Gohan.]

Pour être plus simple je veux savoir quand est-ce qu'on utilise les anagrammes pour dénombrer par p-uplet d'un ensemble fini E (exemple lors d'un tirage successive d'un ensemble formé par 3 boules rouges, 4 vertes et 5 blanches est-il important d'y intégrer les anagrammes pour déterminer par exemple le nombre de cas où les boules tirés sont de même couleur).

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas. Je ne sais même pas ce que tu appelles des anagrammes. Ce que je sais, par contre, c'est que ton exercice se résout par des moyens très élémentaires, au plus il faut utiliser le nombre de suites (de p-listes), puisque l'ordre compte (1204 est différent de 2401).
Ne serais-tu pas en train de vouloir reproduire le corrigé d'un autre exercice, qui n'avait rien à voir ?

[Gohan.]

Voilà ce que j'ai fait pour la suite
2.b Soit AnAn-1...A1 un élément de Nn,1 on sait que ce nombre présente un et un seul chiffre nul donc n-1 chiffres pouvant appartenir à l'ensemble {1,2,...,9} de plus ces chiffres sont ordonnés mais peuvent être distincts ou pas donc en dénombrant par p-liste on montre que le nombre d'élément de Nn,1 est (n-1).Card(An)*Card(An-1)...Card(A1) avec n-1 représentant les différents nombres possibles d'obtenir pour chaque couple (An,An-1,...A1)
3. Soit BnBn-1...B1 un élément de Nn,2 ce nombre présente seulement 2 chiffres nuls donc n-2 chiffres appartenant à l'ensembles {1,2,...,9} de plus ces chiffres sont ordonnés et peuvent prendre des valeurs distincts ou pas donc on doit dénombrer par p-liste. Comme il y'a que 2 zéros dans le nombre BnBn-1...B1 et que ces chiffres peuvent occuper n-1 place différents on en déduis que le différents nombres possibles d'obtenir lorsque les n-2 chiffres sont fixés est A(n,2)/2! avec (A(n,2) l'arrangement des 2 zéros parmi les n-2 chiffres). On peut conclure que le nombre d'éléments de Nn,2 est: 9^(n-2).(n-1)(n-2)/2.

[gg0]

C'est du n'importe quoi : "on montre que le nombre d'élément de Nn,1 est (n-1).Card(An)*Card(An-1)...Card(A1)" !! C'est quoi le cardinal d'un chiffre ?

Au lieu de recopier sans comprendre des corrigés d'exercices, ou d'imiter des choses que tu as vues sans savoir de quoi ça parlait, essaie de dire très simplement ce qui se passe (un élève de sixième est capable de comprendre pour n=5, un élève de quatrième de comprendre la méthode évidente..

Pour la question 3, tu te contentes de baratiner avec des mots du cours (p-listes, arrangements, mais tu n'expliques rien, et le résultat vient comme un cheveu sur la soupe à la fin. Il n'est juste que parce qu'il est donné dans l'énoncé.

Autrement dit : Tu n'as pas fait l'effort de comprendre, ce que tu fais vaut 0.

[Gohan.]

En fait quand je dis par exemple Card(An) ce n'est pas le cardinal d'un chiffre dont je veux parler c'est vrai que je l'ai mal défini car j'aurai dû considérer un ensemble E={1,...,9} et de dire que l'ensemble des éléments de Nn,1 est le produit des (n-1)-listes formé des éléments de E par le nombre de cas possibles soit (n-1).
3) Ici j'ai commencé par montrer que l'on doit dénombrer en utilisant les p-listes:
Soit BnBn-1...B1 un élément de Nn,2 ce nombre présente seulement 2 chiffres nuls donc n-2 chiffres appartenant à l'ensembles {1,2,...,9} de plus ces chiffres sont ordonnés et peuvent prendre des valeurs distincts ou pas donc on doit dénombrer par p-liste"
Ensuite je montre que selon les 2 chiffres nuls de BnBn-1...B1 on peut 9^(n-2) cas différents et tenant compte de la façon dont les zéros sont arrangés dans chaque j'en conclus que l'on a 9^(n-2).(n-1)(n-2)/2 éléments.
Le problème que j'ai c'est que je m'embrouille dans le principe de dénombrement par exemple quand est-ce qu'il est nécessaire d'utiliser un arrangement à la place d'un p-listes vice versa....

[Gohan.]

Et comment prouver que le nombre de positions différentes occupé par les 2 zéros est (n-1)(n-2)/2?

[gg0]

Message #13 : Tu t'enferres, tu t'enfonces.

Si tu savais de quoi tu parles, tu n'emploierais pas des expressions compliquées, ou de longues phrases.

Bon, je n'interviendrai plus, débrouille-toi pour comprendre : C'est dans ta tête que ça se passe, le fait de copier la bonne réponse n'apprend pas à la trouver.