Transformation du plan

[Gohan.]

Bonjour, j'avais une ou deux questions à poser:
Je faisais un exercice où je dois déterminer l'ensemble des transformations du plan conservant le barycentre.
J'ai d'abord montrer que l'affinité en fait parti.
Maintenant je dois en déduire que la propriété est vrai pour les homothéties et translations.
Je me suis dit donc qu'il existe sûrement un rapport entre l'affinité et ces 2 transformations.
De plus j'ai remarqué que la composé de 2 affinités de bases différentes admet un seul point invariant qui est leur intersection.
Ainsi je voulais savoir est-ce qu'une homothétie peut-être obtenu par la composée de 2 affinités?
Si oui comment choisir leur direction ainsi que leur rapport.
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi ne pas aller tout seul au bout de ton raisonnement ? Composer 2 affinités pour voir ?

Cordialement.

[Gohan.]

J'ai fais ce que vous m'avez suggérer. J'ai considéré deux affinité A₁(D₁,u,k₁) et A₂(D₂,v,k₂) M et N ayant pour image respective M" et N" par la composée A₁oA₂. Je les ai construit en fixant u, k₁, ainsi que les 2 points M et M" en premier lieu et de tel sorte que ces 2 points soit alignés avec I intersection de D₁ et D₂. J'en ai déduit les conditions que doivent vérifier v et k₂.
J'ai ensuite pris l'autre point N dont je détermine l'image N" en utilisant les données que j'ai mais j'ai constaté les rapports de l'homothétie de centre I qui transforme M en M" et N en N" sont différents par le signe.
J'en conclus que la composé de 2 affinités ne peut pas être une homothétie.
Pour m'en assurer j'ai déterminer l'expression analytique de 2 affinités quelconque supposant la base d'équation ax+by+c=0 et la direction u(c,d) par exemple. Je l'ai fais pour les 2 ensuite j'ai déterminé l'expression de la composée qui est très différent de celle de l'homothétie.
Maintenant pour revenir à l'exercice comment je dois donc me servir de l'affinité pour faire la démonstration?

[gg0]

Je ne sais pas pour une homothétie (je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir), mais pour une translation, pas de problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

c'est à priori faux pour une homothétie.

[Gohan.]

Je retire ce que je viens de dire:
Considérons A une affinité de base D, de direction u et de rapport k'. H l'homothétie de centre I point de D et de rapport k(≠k').
Posons H(M)=M' et A(M')=M" donc on a AoH(M)=M".
On sait que H(M)=M' alors IM'(vec)=kIM(vec).
De même A(M')=M" donc BM"(vec)=k'BM'(vec) avec B projeté de A parallèlement à u
Ainsi on a M'I/IM ≠ BM"/BM' ce qui équivaut à M'M/IM ≠ M'M"/BM' donc j'en déduis que (MM") est sécant à (IB)=D en un point A. On a M,M" et A alignés donc il existe un réel k" tel que AM"(vec)=k"AM(vec) (1).
On sait que D=(IB) donc la droite D est globlement invariant par AoH (2)
De meme on a AoH(I)=A(I)=I (3)
D'aprés 1,2 et 3 j'en conclus que la composée AoH est une affinité de rapport k" de base D et de direction IM(vec).
Ceci entraine donc que H=A⁻¹oA' donc elle est décomposable par la composée de 2 affnités.
D'où je peux donc en conclure que puis que A ⁻¹ et A' conservent le barycentre alors H le conserve également.
Pour la translation, on sais qu'une translation est la composée de 2 homothétie de centres différents et de rapport 1 alors la translation vérifie donc la propriété.
Je ne l'ai pas trop détaillé mais est-ce que la méthode que j'ai utilisé est bonne?
En fait au niveau de la dernière question de l'exercice on m'a demandé de prouver que tout élément de C(l'ensemble des transformation conservant le barycentre) est la composée de 2 affinités et c'est par là que j'ai su que ma démonstration n'était pas bonne.

[Gohan.]

J'ai fait une petite erreur:
On sait que H(M)=M' alors IM'(vec)=kIM(vec).
De même A(M')=M" donc BM"(vec)=k'BM'(vec) avec B projeté de M' parallèlement à u
Ainsi on a M'I/IM ≠ BM"/BM' ce qui équivaut à M'M/M'I ≠ M'M"/M'B (le théorème de Thalès n'est pas vérifié) donc j'en déduis que (MM") est sécant à (IB)=D en un point A. On a M,M" et A alignés donc il existe un réel k" tel que AM"(vec)=k"AM(vec) (1).

[Gohan.]

S'il vous plait dites-moi si ce que j'ai fait est bon pour montrer que la translation et l'homothétie en font parties?

[invite51d17075]

bjr,
tout d'abord, je corrige mon post 5.
j'ai mal interprété "conservation du barycentre".
l'homothétie conserve bien le barycentre.
de fait , une homothétie est une variété d'affinité.
mais j'ai du mal à visualiser ta demo et cette histoire de sécante.

[Gohan.]

Je voulais dire si on considère 2 affinités orthogonales A₁ et A₂ de base respective D et ∆, et de même rapport k alors on constate que la composé de ces 2 affinités est une homothéties de rapport k. Ce qui me permet d'en conclure que l'homothétie vérifie la propriété et par la même occasion la translation la vérifie également car étant la composé de 2 homothéties de rapport 1 et de centres distincts.

[invite51d17075]

compris l'idée.
moins l'écriture, mais je te fais confiance.

[Gohan.]

Merci beaucoup je suis plus soulagé maintenant.