factorisation de ax²+bx+c en a(x-x')(x-x") , x' et x" étant les radicaux

[orpheu48]

Bonjour,

En 1ère, on est censé connaitre par coeur la formule
P(x) = ax² + bx + c peut se factoriser en
a(x-x')(x-x") , x' et x" en étant les radicaux, càd les solutions de l'équation P(x) = 0
lorsque b²-4ac > 0 .
Je comprends facilement que toute expression de forme (x-x') (x-x") est égale à 0 si x' ou x" est nul,
car une des deux parenthèses est alors nulle, ainsi que, par suite, toute formulation où elle est multipliée par un réel quelconque.
Mais comment arrive-t-on à a(x-x')(x-x"), a étant le coefficient de X² dans l'écriture ax² + bx + c ?
La formule est donnée comme à savoir par coeur dans un livre de cours que je viens d'acheter, mais n'est pas établie (démontrée).
Il en est de même pour la forme canonique, que j'ai pu avec quelques efforts établir dans le cas général (càd hors valeurs numériques),
mais pour la forme factorisée ci-dessus je cale.
J'ai 68 ans, je me remets aux maths pour le plaisir, et je trouve dommage que les livres de cours donnent parfois des formules
à savoir par coeur sans les démontrer. Ce n'est pas très satisfaisant pour l'esprit.
Il me semble que "de mon temps" on avait des livres avec démonstrations, donc avec un petit minimum d'abstraction pour former l'esprit.

Merci donc à qui me donnera le calcul littéral.
Salut bien,
Orph
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[ansset]

bonjour, il n'existe qu'un seul polynôme de coeff a ayant pour racines x1 et x2.
le développement de
a(x-x1)(x-x2) est donc forcement égal à ax²+bx+c.

[Dynamix]

Salut

La formule est donnée comme à savoir par coeur dans un livre de cours que je viens d'acheter, mais n'est pas établie (démontrée).

Je suppose que la démonstration a été donnée dans le cours de l' année précédente .

[orpheu48]

Salut.
1) réponse à ansset:
Votre raisonnement est-il celui-ci?
Tout polynôme de la forme F(x-x1)(x-x2) s'annule pour x=x1 ou x=x2, et notamment si F=a,
et dans ce cas on a effectivement un polynôme dont le coefficient de x² est a, donc de la forme ax²+bx+c.
Ai-je bien suivi votre raisonnement?

Et dans ce cas les deux racines sont fonction de a, de b et de c, telles qu'on les trouve par la méthode issue de la forme canonique.

Ca marche comme ça?

Réponse à dynamix
On attaquerait donc le trinôme en seconde? Pas si sûr, mais je n'ai pas le livre, donc je ne sais pas.

Salut bien,
Orph

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Salut.
1) réponse à ansset:
Votre raisonnement est-il celui-ci?
Tout polynôme de la forme F(x-x1)(x-x2) s'annule pour x=x1 ou x=x2, et notamment si F=a,
et dans ce cas on a effectivement un polynôme dont le coefficient de x² est a, donc de la forme ax²+bx+c.
Ai-je bien suivi votre raisonnement?

Et dans ce cas les deux racines sont fonction de a, de b et de c, telles qu'on les trouve par la méthode issue de la forme canonique.

Ca marche comme ça?

tu voulais peut être dire dans ta phrase qcq soit a non nul en parlant de "F".( choisir A par exemple est mieux, F fait penser à une fonction )
ce que je dis aussi c'est qu'il n'y a QU'UN ( ax²+bx+c) avec un a et deux racines donnés x1 et x2.

[mike.p]

Bonjour,

Mais comment arrive-t-on à a(x-x')(x-x"), a étant le coefficient de X² dans l'écriture ax² + bx + c ?

facile ! en supposant que les racines existent* , remplacez les 2 racines par leurs valeurs développées ( avec le discriminant etc ) et calculez. Vous retrouverez la même équation.

Comment ? une bonne astuce a permis cette factorisation. Comme elle fonctionne toujours, elle est entrée dans les moeurs. C'est normal de ne pas y penser du premier coup quand on ne connait pas. Même du 2d. Il faut apprendre à utiliser cet outil dès que vous aurez vérifié le calcul plus haut, ce qui devrait définitivement vous rassurer.

* je suppose que ce sont tous des réels

[orpheu48]

bonjour.
Je m'y perds un peu dans les boutons...
à mike.p:

En effet, après avoir posé la question, je me suis attelé à développer l'expression a(...) (...)

C'est un peu laborieux, mais on arrive, d'élimination en simplification, à l'écriture ax²+bx+c.

Je trouve élégante la solution proposée par ansset, partant de l'idée que dans un produit de facteurs il suffit que l'un des deux s'annule pour que le produit soit nul.

Par contre il me semble qu'il reste alors à démontrer qu'il n'y a qu'un et un seul polynôme de 2ème degré et de coefficient a pour le 2e degré, et c'est ce qu'on fait en développant comme je l'ai fait hier après-midi, ce qui correspond à ta suggestion. Par contre, étant peu exercé, je me suis planté plusieurs fois en voulant aller trop vite et en faisant des erreurs de signes.

à ansset:
à moins d'effectuer le développement littéral, d'où vient qu'on puisse affirmer qu'il n'y a qu'un et un seul polynôme de 2ème degré et de coefficient a pour le 2e degré de racines x1 et x2, ce qui permet de mettre en évidence un a unique, un b unique et un c unique?
Question écriture, d'accord pour éviter le F qui fait penser à fonction, mais je voulais éviter le A, qui fait déjà trop penser à a. Peut-être J,L, M, etc.

Il me semble me souvenir que l'utilisation du produit nul ci-dessus pour retrouver a, b et c connaissant x1 et x2 s'appelait alors équation paramétrique. Cela vous dit-il quelque chose (nous sommes en 1964)? les termes et des portions de programmes ont peut-être changé depuis. Ou alors je fais une confusion, auquel cas merci de me détromper.

Salut bien,
Orph

[Tryss2]

Je pense que tu fait référence à ceci : Si on développe, (x-x1)(x-x2) = x² - (x1+x2)x + x1.x2

Donc b = -a(x1+x2) (somme des racines) et c = a(x1.x2) (produit des racines)

Par contre il ne me semble pas que ca ait été appellé équation paramétrique (en général c'est autre chose)

En fait, il y a une propriété plus générale qui dit que si x1 est une racine du polynôme P, alors P est divisible par le polynome (x-x1), c'est à dire qu'il existe un polynôme Q (de degré inférieur à celui de P) tel que P(x) = (x-x1)Q(x).

On peut en déduire que si x1, ..., xn sont des racines d'un polynôme P alors
P(x) = (x-x1)(x-x2)...(x-xn)Q(x), avec le degré de Q égal au degré de P moins n

[zenxbear]

je suis tombé sur cette vidéo sur l'explication des formules des racines d'un polynôme de degré 2.

j'avais indiqué à un forumeur que l'on utilisait la méthode des tuiles pour factoriser sans parler de discriminant, mais ceci est une variante qui fait le pont et même démontre ta formule de discriminant graphiquement.

[ansset]

à moins d'effectuer le développement littéral, d'où vient qu'on puisse affirmer qu'il n'y a qu'un et un seul polynôme de 2ème degré et de coefficient a pour le 2e degré de racines x1 et x2, ce qui permet de mettre en évidence un a unique, un b unique et un c unique?

il y a plusieurs manières de le faire:
le plus simple étant l'application du post #8 de Tryss.
P(x) a pour racine x1 et est de degré 2, donc
P(x)=(x-x1)Q(x) et Q(x) est de degré 1; de plus
P(x) a pour racine x2

P(x)=(x-x1)(x-x2)R(x) et R(x) de degré 0 , donc une constante qui est a , coeff du facteur de plus haut degré.

[orpheu48]

Bonjour,
je me rends compte que je n'ai pas répondu à toutes ces explications.
Je me suis remis au travail, et ça va maintenant.
Merci à tous.
Orph

[epiKx]

Bonjour, Pour compléter, en réalité la factorisation d'un polynome du second degré n'est qu'une question d'identité remarquable (à vous de trouver laquelle) et c'est tout pour moi.
Bonne continuation.
Cordialement,
epiKx.

[orpheu48]

Merci epiKx
Effectivement, c'est ce que je fais maintenant.
L'astuce, que je n'ai pas inventée et que je n'avais pas vraiment comprise au lycée, consiste à utiliser les identités dites remarquables, en sachant par ailleurs qu'on peut, dans un polynôme, ajouter et retrancher un même nombre (ou une expression de même valeur) sans changer la valeur du polynôme.
Le copain de plus de 60 ans (j'en ai 72) qui avait à peu près tout oublié et à qui j'expliquais cela trouvait que c'était une magouille, mais a fini par se rendre compte que bien sûr par exemple machin + truc - truc = machin
Autrement dit de l'algèbre simple et manoeuvre tout à fait légale puisque fondée sur une expression vraie.
Salut bien à tous, bon été
Orph