Equation diophantienne

**V13** · 03/08/2016, 19h31

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Trouvez dans $\mathbb{Z}^3$ les triplets solutions de l'équation suivante :

$x^2 + y^2 = 7 z^2$

Ce que j'ai fait :

Si $z=0$ alors on a le triplet évident $(0,0,0)$ solution.

Si $z \neq 0$ alors $x^2 + y^2 = 7 z^2 \Leftrightarrow {( \frac{x}{z} )}^2 + {( \frac{y}{z} )}^2 = 7$

D'où :

$\frac{y}{z} = \pm \sqrt{7 - {( \frac{x}{z} )}^2}$

Le quotient $\frac{y}{z}$ est par hypothèse rationnel car $y$ et $z$ sont deux entiers relatifs. $\sqrt{7 - {( \frac{x}{z} )}^2}$ est rationnel si et seulement si $7 - {( \frac{x}{z} )}^2$ est un carré parfait.

$7 - {( \frac{x}{z} )}^2$ est également inférieur à $7$ (puisque différence de deux entiers positifs) et $7 - {( \frac{x}{z} )}^2$ est positif (car sous une racine).

Donc on cherche tous les carrés parfaits inférieurs à $7$ .

On a alors :
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 4 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{3}$
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 1 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{6}$
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 0 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{7}$

A partir de là je sais que j'ai juste en disant que si on choisit un entier relatif $z$ arbitraire, le nombre $x$ ne sera pas un entier à cause de la multiplication par une racine carrée irrationnelle.
Mais le problème c'est que je ne sais pas comment le démontrer.

Donc j'aurais deux questions pour une âme charitable :

1°) Est-ce que ce raisonnement se tient ?
2°) Comment démontrer que lorsqu'on multiplie un entier par une racine carrée irrationnelle, ça ne donne jamais un entier ?

Merci d'avance,

**Médiat** · 03/08/2016, 20h10

Bonjour,

Envoyé par V13

On a alors :
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 4 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{3}$
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 1 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{6}$
$ 7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = 0 \Leftrightarrow x= \pm z \sqrt{7}$

Vous ne pouvez pas vous restreindre aux entiers carrés parfaits, mais au quotients de carrés parfaits

Quant à votre deuxième question, la réponse est triviale (définition de irrationnel)

**V13** · 03/08/2016, 20h35

Oui je me suis emporté. Dans ce cas est-ce que la méthode suivante convient :

On pose alors :

$7 - {( \frac{x}{z} )}^2 = \frac{ { \alpha }^2}{ { \beta}^2 }$

Où bien sûr $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers relatifs ( et $\beta$ non nul). En posant toujours la condition que : $0 < \frac{ { \alpha }^2}{ { \beta}^2 } < 7$ .

On obtient alors que :

$x = \pm \frac{z}{ \beta} \sqrt{7 { \beta}^2 - { \alpha}^2 }$

Soit :

$x = \pm \frac{z}{ \beta} \sqrt{ ( \beta \sqrt{7} - \alpha ) ( \beta \sqrt{7} + \alpha) }$

On a le produit de deux nombres irrationnels sous la racine. La racine est donc irrationnelle. Pour tout entier relatif $z$ le nombre $x$ n'est jamais un entier. Ce qui conclut donc :

Excepté le triplet $(0,0,0)$ il n'existe pas de triplets d'entiers relatifs $(x,y,z)$ tels que $x^2 + y^2 = 7 z^2$

Est-ce correct ?

**Médiat** · 03/08/2016, 20h51

Envoyé par V13

On a le produit de deux nombres irrationnels sous la racine. La racine est donc irrationnelle.

Vous êtes sûr ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**V13** · 03/08/2016, 20h56

Ah non.

La méthode semble donc ne pas aboutir. Il faudra que je reprenne une autre méthode.

**Resartus** · 03/08/2016, 21h41

Bonjour,
Je vous suggère de chercher quels peuvent être les restes modulo 7 de a² et b²...

Equation diophantienne