Bonjour l octogénaire que je suis s intéresse aux intégrales qui ne m ont pas été enseignées .....
En surfant sur differents sites( Said Chermak. Kiffe les maths ) j ai compris la base ...calcul d une aire
Mais comment démontre t on que ce calcul. (Somme des fx x dx ) équivaut au calcul de la différence
des primitives Fb- Fa ? Merci de vos explications accessibles au profane que je suis
Je ne m'étais jamais posé cette question, qui semble pourtant ^etre 'la base'
Il y a une démonstration ici, page 11:
http://www.lyceedadultes.fr/sitepeda...primitives.pdf
Désolé d'envoyer un lien plutôt qu'un vrai réponse, mais je pourrais pas expliquer mieux je crois
Bonjour Kuznik.
Historiquement, on est parti d'une idée intuitive d'aire (toute surface a une aire bien définie), qui a permis au dix-septième siècle à Fermat, Leibnitz et Newton de réaliser que "le problème des aires est inverse de celui des tangentes" : Pour une fonction positive, l'aire située sous la courbe d'une fonction f, pour des abscisses comprises entre a et x, est une fonction de x (x>=a), nulle pour x=a; notons-la A(x). On voit (document p6) que sa dérivée est justement f, donc que cette fonction A est une primitive de f. Si F est une primitive quelconque de f, on sait que A(x)=F(x)+C; en calculant pour x=a, ton trouve que C=-F(a); donc A(x)=F(x)-F(a).
Ensuite, on s'est aperçu que la situation était bien moins simple, et sont apparus (essentiellement au dix-neuvième siècle) des problèmes : fonctions totalement discontinues, ou continues mais sans dérivée nulle part, surface dont différents calculs d'aire donnent des résultats différents, etc.
Actuellement, la notion de base est celle d'intégrale, et les surfaces dont on peut calculer l'aire sont dites quarrables. Toutes les surfaces simples en font partie. Et surtout, al notion d'intégrale est fortement généralisée, elle a plus à voir avec l'idée de cumul qu'avec l'idée d'aire : Lorsqu'on voit que la quantité d'électricité est l'intégrale de l'intensité, il n'y a plus de surface en cause.
Cordialement.
Bonjour,
Il s'agit du théorème fondamental de l'analyse
Si vous êtes plus à l'aise avec les "aires", un bon moyen de s'en convaincre consiste à s'appuyer sur un autre théorème, celui de la valeur moyenne:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_la_moyenne
(Citation de Wikipédia) J'espère que cette interprétation graphique vous aidera à vous convaincre du bien fondé de ce théorèmeGraphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de f est égale à celle d'un rectangle de base [a, b], et de hauteur un point moyen de la courbe.
La première partie de la démonstration consiste donc à montrer que, pour f continue sur [a, b], la dérivée de la fonction G définie parest non seulement bien définie, mais qu'en si on fait le calcul explicite par le taux d'accroissement, on obtient avec le théorème de la valeur moyenne :
La deuxième partie de la démonstration s'appuie sur le théorème 2 (page 7) proposé par goz : si F est une primitive de f sur [a, b], elle est donc de la forme F(x) = G(x) + C.
Ainsi:
Pour x = a :
Pour x = b :
Quentin
Merci à tous je vais réveiller mes neurones
Merci ggO. Je n ai pas trouver le document incluant " la page 6 "
C'est le document Internet signalé par Goz au message #2.
